ทำความเข้าใจเกี่ยวกับรูปแบบการกำหนดราคาตัวเลือกทวินาม

การกำหนดราคาหุ้น

การตกลงราคาที่ถูกต้องสำหรับสินทรัพย์ที่ซื้อขายได้นั้นเป็นเรื่องท้าทายนั่นคือสาเหตุที่ราคาหุ้นเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา ในความเป็นจริง บริษัท แทบจะไม่เปลี่ยนการประเมินมูลค่าของพวกเขาในแต่ละวัน แต่ราคาหุ้นและการประเมินมูลค่าของพวกเขาเปลี่ยนเกือบทุกวินาที ความยากลำบากในการเข้าถึงฉันทามติเกี่ยวกับการกำหนดราคาที่ถูกต้องสำหรับสินทรัพย์ที่ซื้อขายได้นำไปสู่โอกาสการเก็งกำไรระยะสั้น

แต่การลงทุนที่ประสบความสำเร็จมากมายทำให้เกิดคำถามอย่างง่าย ๆ เกี่ยวกับการประเมินมูลค่าในปัจจุบัน - ราคาปัจจุบันที่เหมาะสมสำหรับการจ่ายผลตอบแทนในอนาคตคืออะไร?

การประเมินตัวเลือกแบบทวินาม

ในตลาดที่มีการแข่งขันเพื่อหลีกเลี่ยงโอกาสในการเก็งกำไรสินทรัพย์ที่มีโครงสร้างผลตอบแทนที่เหมือนกันจะต้องมีราคาเท่ากัน การประเมินทางเลือกเป็นงานที่ท้าทายและรูปแบบการกำหนดราคาที่นำไปสู่โอกาสในการเก็งกำไร Black-Scholes ยังคงเป็นหนึ่งในรุ่นยอดนิยมที่ใช้สำหรับตัวเลือกการกำหนดราคา แต่มีข้อ จำกัด

รูปแบบการกำหนดราคาตัวเลือกทวินามเป็นอีกวิธีหนึ่งที่นิยมใช้สำหรับตัวเลือกการกำหนดราคา

ตัวอย่าง

สมมติว่ามีตัวเลือกการโทรสำหรับหุ้นที่มีราคาตลาดปัจจุบันที่ $ 100 ตัวเลือก at-the-money (ATM) มีราคาใช้สิทธิเท่ากับ $ 100 พร้อมเวลาที่จะหมดอายุเป็นเวลาหนึ่งปี มีเทรดเดอร์สองคนคือปีเตอร์และพอลล่าซึ่งทั้งคู่ยอมรับว่าราคาหุ้นจะเพิ่มขึ้นเป็น $ 110 หรือลดลงเป็น $ 90 ในหนึ่งปี

พวกเขาเห็นด้วยกับระดับราคาที่คาดหวังในกรอบเวลาหนึ่งปี แต่ไม่เห็นด้วยกับความน่าจะเป็นของการขึ้นหรือลง ปีเตอร์เชื่อว่าความน่าจะเป็นของราคาหุ้นจะอยู่ที่ $ 110 คือ 60% ในขณะที่พอลล่าเชื่อว่าเป็น 40%

จากนั้นใครจะยินดีจ่ายราคาเพิ่มเติมสำหรับตัวเลือกการโทร เปโตรอาจเป็นไปได้ในขณะที่เขาคาดว่ามีความน่าจะเป็นสูงในการเคลื่อนไหว

การคำนวณตัวเลือกของทวินาม

สินทรัพย์สองรายการซึ่งการประเมินค่าขึ้นอยู่กับตัวเลือกการโทรและหุ้นอ้างอิง มีข้อตกลงระหว่างผู้เข้าร่วมว่าราคาหุ้นอ้างอิงสามารถย้ายจาก $ 100 ปัจจุบันไปที่ $ 110 หรือ $ 90 ในหนึ่งปีและไม่มีการเคลื่อนไหวของราคาอื่น ๆ ที่เป็นไปได้

ในโลกที่ปราศจากการเก็งกำไรหากคุณต้องสร้างพอร์ตโฟลิโอประกอบด้วยสินทรัพย์ทั้งสองตัวเลือกการโทรและหุ้นอ้างอิงซึ่งไม่ว่าราคาจะไปที่ใด - $ 110 หรือ $ 90 - ผลตอบแทนสุทธิของพอร์ตจะยังคงเท่าเดิม. สมมติว่าคุณซื้อหุ้น "d" ของตัวเลือกการโทรพื้นฐานและแบบสั้นเพื่อสร้างพอร์ตโฟลิโอนี้

หากราคาไปถึง $ 110 หุ้นของคุณจะมีมูลค่า $ 110 * d และคุณจะสูญเสีย $ 10 จากการจ่ายสายสั้น ๆ มูลค่าสุทธิของพอร์ตการลงทุนของคุณจะเป็น (110d - 10)

หากราคาลดลงถึง $ 90 หุ้นของคุณจะมีมูลค่า $ 90 * d และตัวเลือกจะหมดอายุอย่างไร้ค่า มูลค่าสุทธิของผลงานของคุณจะเป็น (90d)

$\begin{matrix} ชั่วโมง (d) - ม. = ล. (d) \\ ที่อยู่: \\ ชั่วโมง = ราคาอ้างอิงที่มีศักยภาพสูงสุด \\ d = จำนวนหุ้นรองรับ \\ ม. = เงินหายไปจากการจ่ายสายสั้น ๆ \\ ล. = ราคาอ้างอิงต่ำสุดที่เป็นไปได้ \end{matrix} \ start {aligned} & h (d) - m = l (d) \ & \ textbf {โดยที่:} \ & h = \ text {ราคาอ้างอิงที่มีศักยภาพสูงสุด} \ & d = \ text {จำนวนหุ้นรองรับ}} & m = \ text {เงินหายไปจากการจ่ายค่าโทรสั้น} \ & l = \ text {ราคาอ้างอิงที่มีศักยภาพต่ำที่สุด} \ \ end {จัดชิด}$ h (d) −m = l (d) โดยที่: h = ราคาพื้นฐานที่มีศักยภาพสูงสุด = จำนวนหุ้นที่ต้องชำระ = เงินที่เสียไปจากการจ่ายค่าโทรสั้น = ราคาต่ำสุดที่เป็นไปได้

ดังนั้นหากคุณซื้อครึ่งหุ้นสมมติว่ามีการซื้อเศษส่วนคุณสามารถจัดการสร้างพอร์ตโฟลิโอเพื่อให้มูลค่ายังคงเหมือนเดิมในทั้งสองสถานะที่เป็นไปได้ภายในระยะเวลาหนึ่งปี

$\begin{matrix} 110 d - 10 = 90 d \\ d = \frac{1}{2} \end{matrix} \ start {aligned} & 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \ \ end {aligned}$ 110d-10 = 90dd = 21

มูลค่าพอร์ตการลงทุนนี้ที่ระบุโดย (90d) หรือ (110d - 10) = 45 คือหนึ่งปีในบรรทัด ในการคำนวณมูลค่าปัจจุบันสามารถลดได้โดยอัตราผลตอบแทนที่ปราศจากความเสี่ยง (สมมติว่า 5%)

$\begin{matrix} มูลค่าปัจจุบัน & = 90 d \times {อี}^{(- 5 % \times 1 ปี)} \\ = 45 \times 0.9523 \\ = 42.85 \end{matrix} \ start {จัดชิด} text {มูลค่าปัจจุบัน} & = 90d \ times e ^ {(-5 \% \ times 1 \ text {ปี})} \ & = 45 \ ครั้ง 0.9523 \\ & = 42.85 \\ \ จบ {} ชิด$ มูลค่าปัจจุบัน = 90d × e (−5% × 1 ปี) = 45 × 0.9523 = 42.85

ตั้งแต่ปัจจุบันพอร์ตโฟลิโอประกอบด้วยหุ้น underlying ของหุ้นอ้างอิง (ที่มีราคาตลาด $ 100) และการโทรสั้น ๆ หนึ่งครั้งมันควรจะเท่ากับมูลค่าปัจจุบัน

$\begin{matrix} \frac{1}{2} \times 100 - 1 \times ราคาโทร = $ 42.85 \\ ราคาโทร = $ 7.14 คือราคาโทรของวันนี้ \end{matrix} \ start {aligned} & \ frac {1} {2} คูณ 100 - 1 \ times \ text {Call Price} = \ $ 42.85 \\ & \ text {Call Price} = \ $ 7.14 \ text {เช่นราคาโทร จากวันนี้} \ \ end {จัดชิด}$ 21 × 100−1 ×ราคาโทร = $ 42.85 โทรราคา = $ 7.14 คือราคาโทรของวันนี้

เนื่องจากสิ่งนี้ตั้งอยู่บนสมมุติฐานว่ามูลค่าของพอร์ตโฟลิโอยังคงเหมือนเดิมไม่ว่าราคาอ้างอิงจะไปทางใดความน่าจะเป็นของการย้ายขึ้นหรือลงไม่ได้มีบทบาทใด ๆ พอร์ทการลงทุนไม่มีความเสี่ยงโดยไม่คำนึงถึงการเคลื่อนไหวของราคาอ้างอิง

ในทั้งสองกรณี (สมมติว่าจะเลื่อนขึ้นไปที่ $ 110 และลงไปที่ $ 90) พอร์ตโฟลิโอของคุณเป็นกลางกับความเสี่ยงและรับอัตราผลตอบแทนที่ปราศจากความเสี่ยง

ดังนั้นทั้ง Peter และ Paula จึงยินดีที่จะจ่าย $ 7.14 สำหรับตัวเลือกการโทรนี้แม้ว่าพวกเขาจะรับรู้ถึงความน่าจะเป็นของการเคลื่อนไหวที่เพิ่มขึ้น (60% และ 40%) ความน่าจะเป็นที่รับรู้รายบุคคลไม่สำคัญในการประเมินทางเลือก

หากว่าความน่าจะเป็นของแต่ละบุคคลนั้นมีความเป็นไปได้โอกาสในการเก็งกำไรอาจนำเสนอตัวเอง ในโลกแห่งความเป็นจริงมีโอกาสในการเก็งกำไรเช่นนี้กับส่วนต่างราคาเล็กน้อยและหายไปในระยะสั้น

แต่ความผันผวนของการคำนวณทั้งหมดเหล่านี้อยู่ที่ไหนซึ่งเป็นปัจจัยสำคัญและละเอียดอ่อนที่ส่งผลต่อการกำหนดราคาตัวเลือก

ความผันผวนนั้นรวมอยู่ในคำจำกัดความของปัญหาแล้ว สมมติว่าสอง (และสองเท่านั้น - ดังนั้นชื่อ "ทวินาม") ระดับราคา ($ 110 และ $ 90) ความผันผวนมีนัยในสมมติฐานนี้และรวมโดยอัตโนมัติ (10% ทั้งสองวิธีในตัวอย่างนี้)

Black-Scholes

แต่วิธีนี้ถูกต้องและสอดคล้องกับราคา Black-Scholes ที่ใช้กันทั่วไปหรือไม่ ตัวเลือกเครื่องคำนวณผลลัพธ์ (ความอนุเคราะห์ของ OIC) ตรงกับค่าที่คำนวณ:

น่าเสียดายที่โลกแห่งความจริงนั้นไม่ง่ายเหมือน "เพียงสองรัฐ" หุ้นสามารถเข้าถึงราคาได้หลายระดับก่อนถึงเวลาหมดอายุ

เป็นไปได้หรือไม่ที่จะรวมหลายระดับทั้งหมดเหล่านี้ในรูปแบบการกำหนดราคาแบบทวินามที่ จำกัด เพียงสองระดับ ใช่มันเป็นไปได้อย่างมาก แต่การเข้าใจว่าต้องใช้คณิตศาสตร์อย่างง่าย

คณิตศาสตร์ง่าย ๆ

เมื่อต้องการสรุปปัญหาและวิธีแก้ไขปัญหานี้:

"X" คือราคาตลาดปัจจุบันของหุ้นและ "X * u" และ "X * d" เป็นราคาในอนาคตสำหรับการเลื่อนขึ้นและลง "t" ปีต่อมา ตัวคูณ "u" จะมากกว่าหนึ่งตัวเนื่องจากมันบ่งบอกว่ามีการเคลื่อนไหวขึ้นและ "d" จะอยู่ระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง สำหรับตัวอย่างข้างต้น u = 1.1 และ d = 0.9

การชดเชยตัวเลือกการโทรคือ "P _up " และ "P _dn " สำหรับการเลื่อนขึ้นและลงในเวลาที่หมดอายุ

$\begin{matrix} VUM = s \times X \times ยู - P_{ขึ้น} \\ ที่อยู่: \\ VUM = มูลค่าของพอร์ทโฟลิโอในกรณีที่มีการเคลื่อนไหว \end{matrix} \ start {aligned} & \ text {VUM} = s \ times X \ times u - P_ \ text {up} \ & \ textbf {โดยที่:} \ & \ text {VUM} = \ text {มูลค่าของพอร์ตโฟลิโอ ในกรณีที่เลื่อนขึ้น} \ \ end {aligned}$ VUM = s × X × u − Pup โดยที่: VUM = มูลค่าของผลงานในกรณีที่เลื่อนขึ้น

$\begin{matrix} VDM = s \times X \times d - P_{ลง} \\ ที่อยู่: \\ VDM = มูลค่าของผลงานในกรณีที่ย้ายลง \end{matrix} \ start {aligned} & \ text {VDM} = s \ times X \ times d - P_ \ text {ลง} \ & \ textbf {โดยที่:} \ & \ text {VDM} = \ text {มูลค่าของพอร์ตโฟลิโอ ในกรณีที่เลื่อนลง} \ \ end {aligned}$ VDM = s × X × d − Pdown โดยที่: VDM = มูลค่าของพอร์ตโฟลิโอในกรณีที่เลื่อนลง

สำหรับการประเมินค่าที่คล้ายกันในกรณีที่ราคาเปลี่ยนแปลง:

$s \times X \times ยู - P_{ขึ้น} = s \times X \times d - P_{ลง} s \ times X \ times u - P_ \ text {ขึ้น} = s \ times X \ times d - P_ \ text {ลง}$ s × X × U-Pup = s × X × D-Pdown

$\begin{matrix} s & = \frac{P_{ขึ้น} - P_{ลง}}{X \times (ยู - d)} \\ = จำนวนหุ้นที่จะซื้อ \\ ผลงานปลอดความเสี่ยง \end{matrix} \ start {aligned} s & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {X \ times (u - d)} \ & = \ text {จำนวนหุ้นที่จะซื้อ} \ & \ phantom {=} text {พอร์ตโฟลิโอที่ปลอดความเสี่ยง} \ \ end {จัดชิด}$ s = X × (u − d) Pup −Pdown = จำนวนหุ้นที่จะซื้อเพื่อ = พอร์ตโฟลิโอที่ปลอดความเสี่ยง

มูลค่าในอนาคตของพอร์ตโฟลิโอ ณ สิ้นปี "t" จะเป็น:

$\begin{matrix} ในกรณีที่เลื่อนขึ้น & = s \times X \times ยู - P_{ขึ้น} \\ = \frac{P_{ขึ้น} - P_{ลง}}{ยู - d} \times ยู - P_{ขึ้น} \end{matrix} \ start {จัดชิด} text {ในกรณีที่มีการเคลื่อนไหวสูง} & = s \ times X \ times คุณ - P_ \ text {ขึ้น} \ & = \ frac {P_ \ text {ขึ้น} - P_ \ text {ลง} } {u - d} times u - P_ \ text {up} \ \ end {จัดชิด}$ ในกรณี Up Up = s × X × u − Pup = u − dPup −Pdown × u − Pup

$\begin{matrix} ในกรณีของการย้ายลง & = s \times X \times d - P_{ลง} \\ = \frac{P_{ขึ้น} - P_{ลง}}{ยู - d} \times d - P_{ลง} \end{matrix} \ start {จัดชิด} text {ในกรณีเลื่อนลง} & = s \ times X \ times d - P_ \ text {ลง} \ & = \ frac {P_ \ text {ขึ้น} - P_ \ text {ลง} } {u - d} times d - P_ \ text {ลง} \ \ end {จัดชิด}$ ในกรณีที่ Down Down = s × X × d − Pdown = u − dPup −Pdown × d − Pdown

มูลค่าปัจจุบันสามารถรับได้โดยการลดราคาด้วยอัตราผลตอบแทนที่ปราศจากความเสี่ยง:

$\begin{matrix} PV = อี (- R เสื้อ) \times \\ ที่อยู่: \\ PV = มูลค่าปัจจุบัน \\ R = อัตราผลตอบแทน \\ เสื้อ = เวลาในหน่วยปี \end{matrix} \ start {aligned} & \ text {PV} = e (-rt) times \ left \\ & \ textbf {โดยที่:} \ & \ text {PV} = \ text {มูลค่าของวันปัจจุบัน} \ & r = \ text {อัตราผลตอบแทน} \ & t = \ text {เวลาเป็นปี} \ \ end {จัดชิด}$ PV = e (−rt) ×โดยที่: PV = Valuer ของวันปัจจุบัน = อัตราผลตอบแทน = เวลาเป็นปี

สิ่งนี้ควรตรงกับผลงานการถือครองหุ้น "s" ที่ราคา X และค่าโทรสั้น "c" (การถือครองวันปัจจุบันของ (s * X - c) ควรถือเอาการคำนวณนี้) การหา "c" เช่น:

หมายเหตุ: หากพรีเมี่ยมสายการโทรสั้นควรเพิ่มไปยังพอร์ตโฟลิโอไม่ใช่การลบ

$ค = \frac{อี (- R เสื้อ)}{ยู - d} \times c = \ frac {e (-rt)} {u - d} times$ c = U-de (-rt) ×

อีกวิธีในการเขียนสมการคือจัดเรียงใหม่:

ใช้ "q" เป็น:

$Q = \frac{อี (- R เสื้อ) - d}{ยู - d} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ q = U-de (-rt) -d

จากนั้นสมการจะกลายเป็น:

$ค = อี (- R เสื้อ) \times (Q \times P_{ขึ้น} + (1 - Q) \times P_{ลง}) c = e (-rt) times (q \ times P_ \ text {up} + (1 - q) times P_ \ text {down})$ c = อี (-rt) × (Q × Pup + (1-Q) × Pdown)

การจัดเรียงสมการใหม่ในรูปของ "q" ได้เสนอมุมมองใหม่

ตอนนี้คุณสามารถตีความ“ q” เป็นความน่าจะเป็นของการเลื่อนขึ้นของต้นแบบ (เนื่องจาก“ q” เกี่ยวข้องกับ P _up และ“ 1-q” เชื่อมโยงกับ P _dn) โดยรวมสมการนี้แสดงถึงราคาตัวเลือกในปัจจุบันซึ่งเป็นมูลค่าที่ลดลงของผลตอบแทนเมื่อสิ้นสุด

"Q" นี้แตกต่าง

ความน่าจะเป็นนี้“ q” แตกต่างจากความน่าจะเป็นของการเลื่อนขึ้นหรือการเลื่อนของพื้นฐาน?

$\begin{matrix} วีเอสพี = Q \times X \times ยู + (1 - Q) \times X \times d \\ ที่อยู่: \\ วีเอสพี = มูลค่าของราคาหุ้นในเวลา เสื้อ \end{matrix} \ start {aligned} & \ text {VSP} = q \ times X \ times u + (1 - q) times X \ times d \\ & \ textbf {โดยที่:} \ & \ text {VSP} = \ ข้อความ {มูลค่าของราคาหุ้น ณ เวลา} t \\ \ end {จัดชิด}$ VSP = q × X × u + (1 − q) × X × dwhere: VSP = มูลค่าของราคาหุ้น ณ เวลา t

การแทนที่ค่าของ "q" และจัดเรียงใหม่ราคาหุ้น ณ เวลาที่ "t" มาถึง:

$\begin{matrix} ราคาหุ้น = อี (R เสื้อ) \times X \end{matrix} \ start {aligned} & \ text {ราคาหุ้น} = e (rt) times X \\ \ end {aligned}$ ราคาหุ้น = e (rt) × X

ในโลกสมมติของสองรัฐนี้ราคาหุ้นจะเพิ่มขึ้นตามอัตราผลตอบแทนที่ปราศจากความเสี่ยงเหมือนกับสินทรัพย์ที่ปราศจากความเสี่ยงและด้วยเหตุนี้มันจึงยังคงเป็นอิสระจากความเสี่ยงใด ๆ นักลงทุนไม่สนใจความเสี่ยงภายใต้รูปแบบนี้ดังนั้นจึงถือว่าเป็นรูปแบบที่เป็นกลางและมีความเสี่ยง

ความน่าจะเป็น "q" และ "(1-q)" เป็นที่รู้จักกันในชื่อความน่าจะเป็น - ความเสี่ยงและวิธีการประเมินมูลค่าที่รู้จักกันในชื่อแบบจำลองการประเมินความเสี่ยง - กลาง

สถานการณ์ตัวอย่างมีข้อกำหนดสำคัญหนึ่งข้อ - โครงสร้างการจ่ายเงินในอนาคตจำเป็นต้องมีความแม่นยำ (ระดับ $ 110 และ $ 90) ในชีวิตจริงความชัดเจนเกี่ยวกับระดับราคาตามขั้นตอนเป็นไปไม่ได้ ราคาค่อนข้างเคลื่อนไหวแบบสุ่มและอาจตัดสินในหลายระดับ

หากต้องการขยายตัวอย่างเพิ่มเติมให้สมมติว่าระดับราคาสองขั้นตอนเป็นไปได้ เรารู้ขั้นตอนการจ่ายเงินขั้นสุดท้ายที่สองและเราจำเป็นต้องให้ความสำคัญกับตัวเลือกในวันนี้ (ในขั้นตอนแรก):

การทำงานย้อนกลับการประเมินค่าขั้นตอนแรกขั้นกลาง (ที่ t = 1) สามารถทำได้โดยใช้การจ่ายขั้นสุดท้ายในขั้นตอนที่สอง (t = 2) จากนั้นใช้การประเมินค่าขั้นตอนแรกที่คำนวณเหล่านี้ (t = 1) การประเมินมูลค่าปัจจุบัน 0) สามารถเข้าถึงได้ด้วยการคำนวณเหล่านี้

ในการรับการกำหนดราคาตัวเลือกที่หมายเลขสองจะใช้การจ่ายเงินสี่และห้า ในการรับการกำหนดราคาสำหรับหมายเลขสามจะใช้การจ่ายเงินที่ห้าและหก ในที่สุดการคำนวณผลตอบแทนที่สองและสามจะถูกใช้เพื่อให้ได้ราคาที่หนึ่ง

โปรดทราบว่าตัวอย่างนี้จะถือว่าปัจจัยเดียวกันสำหรับการเลื่อนขึ้นและลงทั้งสองขั้นตอน - คุณและ d ถูกนำไปใช้ในรูปแบบผสม

ตัวอย่างการทำงาน

สมมติว่าเป็นตัวเลือกวางกับราคาการประท้วง $ 110 ปัจจุบันซื้อขายที่ $ 100 และจะหมดอายุในหนึ่งปี อัตราความเสี่ยงต่อปีฟรี 5% ราคาคาดว่าจะเพิ่มขึ้น 20% และลดลง 15% ทุกหกเดือน

นี่ u = 1.2 และ d = 0.85, x = 100, t = 0.5

โดยใช้สูตรที่ได้รับข้างต้นของ

$Q = \frac{อี (- R เสื้อ) - d}{ยู - d} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ q = U-de (-rt) -d

เราได้รับ q = 0.35802832

ค่าของตัวเลือกการย้ายที่จุด 2

$\begin{matrix} {พี}_{2} = อี (- R เสื้อ) \times (พี \times P_{upup} + (1 - Q) P_{updn}) \\ ที่อยู่: \\ พี = ราคาของตัวเลือกการวาง \end{matrix} \ start {aligned} & p_2 = e (-rt) times (p \ times P_ \ text {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \ & \ textbf {โดยที่:} \ & p = \ text {ราคาของตัวเลือกการวาง} \ \ end {จัดชิด}$ p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) โดยที่: p = ราคาของตัวเลือกการวาง

ที่เงื่อนไข _{up up} P จะมีค่าเท่ากับ = 100 * 1.2 * 1.2 = $ 144 ที่นำไปสู่ P _upup = ศูนย์

ที่เงื่อนไข P _updn จะมีค่าเท่ากับ = 100 * 1.2 * 0.85 = $ 102 ที่นำไปสู่ P _updn = $ 8

ที่เงื่อนไข P _dndn จะมีค่าเท่ากับ = 100 * 0.85 * 0.85 = $ 72.25 ที่นำไปสู่ P _dndn = $ 37.75

p ₂ = 0.975309912 * (0.35802832 * 0 + (1-0.35802832) * 8) = 5.008970741

ในทำนองเดียวกัน p ₃ = 0.975309912 * (0.35802832 * 8 + (1-0.35802832) * 37.75) = 26.42958924

${พี}_{1} = อี (- R เสื้อ) \times (Q \times {พี}_{2} + (1 - Q) {พี}_{3}) p_1 = e (-rt) times (q \ times p_2 + (1 - q) p_3)$ p1 = อี (-rt) × (Q × p2 + (1-Q) p3)

และด้วยค่าของตัวเลือกการวาง, p ₁ = 0.975309912 * (0.35802832 * 5.008970741 + (1-0.35802832) * 26.42958924) = $ 18.29

ในทำนองเดียวกันแบบจำลองทวินามช่วยให้คุณสามารถแบ่งระยะเวลาตัวเลือกทั้งหมดเพื่อปรับปรุงหลายขั้นตอนและหลายระดับ การใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์หรือสเปรดชีตคุณสามารถทำงานย้อนกลับทีละขั้นตอนเพื่อรับค่าปัจจุบันของตัวเลือกที่ต้องการ

ตัวอย่างอื่น

สมมติว่าเป็นตัวเลือกการวางแบบยุโรปที่มีระยะเวลาเก้าเดือนที่จะหมดอายุราคาการใช้สิทธิ $ 12 และราคาอ้างอิงปัจจุบันที่ $ 10 สมมติอัตราปลอดความเสี่ยง 5% สำหรับทุกช่วงเวลา สมมติว่าทุก ๆ สามเดือนราคาอ้างอิงสามารถเลื่อนขึ้นหรือลง 20% ทำให้เราได้ = 1.2, d = 0.8, t = 0.25 และต้นไม้ทวินามสองสามขั้น

สีแดงหมายถึงราคาพื้นฐานในขณะที่สีฟ้าหมายถึงผลตอบแทนของตัวเลือกการวาง

ความน่าจะเป็นแบบเป็นกลางที่มีความเสี่ยง "q" คำนวณได้ถึง 0.531446

การใช้ค่าข้างต้นของ "q" และค่าผลตอบแทนที่ t = เก้าเดือนค่าที่สอดคล้องกันที่ t = หกเดือนจะถูกคำนวณเป็น:

นอกจากนี้การใช้ค่าที่คำนวณเหล่านี้ที่ t = 6, ค่าที่ t = 3 แล้วที่ t = 0 คือ:

ที่ให้มูลค่าปัจจุบันของตัวเลือกการย้ายเป็น $ 2.18 ซึ่งใกล้เคียงกับสิ่งที่คุณคิดว่าจะทำการคำนวณโดยใช้โมเดล Black-Scholes ($ 2.30)

บรรทัดล่าง

แม้ว่าการใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์สามารถทำให้การคำนวณแบบเร่งรัดเหล่านี้เป็นเรื่องง่าย แต่การคาดการณ์ราคาในอนาคตยังคงเป็นข้อ จำกัด ที่สำคัญของโมเดลทวินามสำหรับการกำหนดราคาตัวเลือก ยิ่งช่วงเวลาสั้นลงเท่าไหร่ก็จะยิ่งยากต่อการคาดการณ์ผลตอบแทนเมื่อสิ้นสุดแต่ละช่วงเวลาด้วยความแม่นยำระดับสูง

อย่างไรก็ตามความยืดหยุ่นในการรวมการเปลี่ยนแปลงที่คาดหวังในช่วงเวลาที่แตกต่างกันเป็นบวกซึ่งทำให้เหมาะสำหรับการกำหนดราคาตัวเลือกของอเมริการวมถึงการประเมินมูลค่าการออกกำลังกายก่อนกำหนด

ค่าที่คำนวณโดยใช้แบบจำลองทวินามมีความใกล้เคียงกับค่าที่คำนวณจากแบบจำลองที่ใช้กันทั่วไปอื่น ๆ เช่น Black-Scholes ซึ่งบ่งชี้ถึงอรรถประโยชน์และความแม่นยำของแบบจำลองทวินามสำหรับการกำหนดราคาตัวเลือก รูปแบบการกำหนดราคาแบบทวินามสามารถพัฒนาได้ตามความต้องการของผู้ค้าและสามารถทำงานเป็นทางเลือกแทน Black-Scholes

สารบัญ: