วิธีใช้การจำลอง monte carlo กับ gbm

หนึ่งในวิธีทั่วไปในการประเมินความเสี่ยงคือการใช้การจำลองแบบมอนติคาร์โล (MCS) ตัวอย่างเช่นในการคำนวณค่าความเสี่ยง (VaR) ของพอร์ตโฟลิโอเราสามารถเรียกใช้การจำลองแบบมอนติคาร์โลที่พยายามทำนายการสูญเสียที่อาจเกิดขึ้นได้มากที่สุดสำหรับพอร์ตที่กำหนดช่วงความมั่นใจในช่วงเวลาที่กำหนด เงื่อนไขสำหรับ VaR: ความมั่นใจและขอบฟ้า)

เราจะตรวจสอบ MCS พื้นฐานที่ใช้กับราคาหุ้นโดยใช้หนึ่งในโมเดลที่พบมากที่สุดในด้านการเงิน: เรขาคณิต Brownian motion (GBM) ดังนั้นในขณะที่การจำลอง Monte Carlo สามารถอ้างถึงจักรวาลของวิธีการจำลองที่แตกต่างกันเราจะเริ่มต้นที่นี่ด้วยพื้นฐานที่สุด

จะเริ่มที่ไหนดี

การจำลอง Monte Carlo เป็นความพยายามที่จะทำนายอนาคตหลาย ๆ ครั้ง ในตอนท้ายของการจำลองสถานการณ์ "การทดลองแบบสุ่ม" นับพันหรือหลายล้านครั้งก่อให้เกิดการกระจายของผลลัพธ์ที่สามารถวิเคราะห์ได้ ขั้นตอนพื้นฐานมีดังนี้:

1. ระบุรุ่น (เช่น GBM)

สำหรับบทความนี้เราจะใช้ Geometric Brownian Motion (GBM) ซึ่งเป็นเทคนิคกระบวนการมาร์คอฟ ซึ่งหมายความว่าราคาหุ้นตามการเดินสุ่มและสอดคล้องกับ (อย่างน้อยที่สุด) รูปแบบที่อ่อนแอของสมมติฐานทางการตลาดที่มีประสิทธิภาพ (EMH) - ข้อมูลราคาที่ผ่านมาได้ถูกรวบรวมไว้แล้วและการเคลื่อนไหวของราคาต่อไปคือ "อิสระตามเงื่อนไข" ในอดีต การเคลื่อนไหวของราคา

สูตรสำหรับ GBM อยู่ด้านล่าง:

$\begin{matrix} \frac{Δ S}{S} = μ Δ เสื้อ + σ ε \sqrt{Δ เสื้อ} \\ ที่อยู่: \\ S = ราคาหุ้น \\ Δ S = การเปลี่ยนแปลงของราคาหุ้น \\ μ = ผลตอบแทนที่คาดหวัง \\ σ = ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลตอบแทน \\ ε = ตัวแปรสุ่ม \end{matrix} \ start {aligned} & \ frac { Delta S} {S} = \ \ mu \ Delta t \ + \ \ sigma \ epsilon \ sqrt { Delta t} \ & \ textbf {โดยที่:} \ & S = \ text {ราคาหุ้น} \ & \ Delta S = \ text {การเปลี่ยนแปลงของราคาหุ้น} \ & \ mu = \ text {ผลตอบแทนที่คาดหวัง} \ & \ sigma = \ text {ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของ ส่งคืน} \ & \ epsilon = \ text {ตัวแปรสุ่ม} \ & \ Delta t = \ text {ช่วงเวลาที่ผ่านไป} end {align}$ SΔS = μΔt + σϵΔt โดยที่: S = ราคาหุ้นΔS = การเปลี่ยนแปลงของราคาหุ้นμ = ผลตอบแทนที่คาดหวังσ = ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลตอบแทน ϵ = ตัวแปรสุ่ม

หากเราจัดเรียงสูตรใหม่เพื่อแก้ไขเฉพาะการเปลี่ยนแปลงราคาหุ้นเราจะเห็นว่า GBM กล่าวว่าการเปลี่ยนแปลงราคาหุ้นคือราคาหุ้น "S" คูณด้วยสองคำที่พบในวงเล็บด้านล่าง:

$Δ S = S \times (μ Δ เสื้อ + σ ε \sqrt{Δ เสื้อ}) \ Delta S \ = \ S \ \ times ( mu \ Delta t \ + \ \ sigma \ epsilon \ sqrt { Delta t})$ ΔS = S × (μΔt + σϵΔt)

เทอมแรกคือ "ดริฟท์" และเทอมที่สองคือ "ช็อค" ในแต่ละช่วงเวลาโมเดลของเราจะสมมติว่าราคาจะ "ลอย" ขึ้นจากผลตอบแทนที่คาดหวัง แต่การดริฟท์จะถูกทำให้ตกใจ (บวกหรือลบ) โดยการสุ่มแบบสุ่ม การสุ่มแบบสุ่มจะเป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน "s" คูณด้วยตัวเลขสุ่ม "e" นี่เป็นวิธีปรับขนาดความเบี่ยงเบนมาตรฐาน

นั่นคือสาระสำคัญของ GBM ดังแสดงในรูปที่ 1 ราคาหุ้นเป็นไปตามชุดของขั้นตอนที่แต่ละขั้นตอนมีการบวกหรือลบด้วยการสุ่มแบบสุ่ม (ตัวเองเป็นหน้าที่ของการเบี่ยงเบนมาตรฐานของหุ้น)

2. สร้างการทดลองแบบสุ่ม

ด้วยคุณสมบัติของแบบจำลองจากนั้นเราจะดำเนินการทดลองแบบสุ่มต่อไป เพื่อแสดงให้เห็นว่าเราใช้ Microsoft Excel ในการทดสอบ 40 ครั้ง โปรดทราบว่านี่เป็นตัวอย่างขนาดเล็กที่ไม่สมจริง การจำลองส่วนใหญ่หรือ "ซิม" ทำงานอย่างน้อยหลายพันการทดลอง

ในกรณีนี้สมมติว่าหุ้นเริ่มต้นในวันที่ศูนย์ด้วยราคา $ 10 นี่คือแผนภูมิของผลลัพธ์ที่แต่ละขั้นตอน (หรือช่วงเวลา) เป็นหนึ่งวันและซีรีส์จะทำงานเป็นเวลาสิบวัน (โดยสรุป: สี่สิบการทดลองที่มีขั้นตอนรายวันมากกว่าสิบวัน):

ผลที่ได้คือราคาหุ้นจำลองสี่สิบ ณ สิ้น 10 วัน ไม่มีผู้ใดตกลงมาต่ำกว่า $ 9 และอีกอันอยู่เหนือ $ 11

3. ประมวลผลเอาท์พุท

การจำลองสร้างการกระจายของผลลัพธ์ในอนาคตที่เป็นสมมุติ เราสามารถทำหลายสิ่งกับผลลัพธ์ได้

ตัวอย่างเช่นหากเราต้องการประเมิน VaR ด้วยความมั่นใจ 95% เราจะต้องค้นหาผลลัพธ์ที่มีอันดับที่สามสิบแปด (ผลลัพธ์ที่เลวร้ายที่สุดอันดับสาม) นั่นเป็นเพราะ 2/40 เท่ากับ 5% ดังนั้นผลลัพธ์ที่เลวร้ายที่สุดสองรายการนั้นอยู่ในระดับต่ำสุด 5%

หากเราแยกผลลัพธ์ที่แสดงเป็นถังขยะ (แต่ละถังเป็นหนึ่งในสามของ $ 1 ดังนั้นถังขยะสามใบครอบคลุมช่วงจาก $ 9 ถึง $ 10) เราจะได้ฮิสโตแกรมต่อไปนี้:

โปรดจำไว้ว่ารุ่น GBM ของเราถือว่าปกติ การส่งคืนราคาจะกระจายตามปกติด้วยผลตอบแทนที่คาดหวัง (หมายถึง) "m" และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน "s ที่น่าสนใจฮิสโตแกรมของเราดูไม่ปกติ ในความเป็นจริงหากมีการทดลองมากขึ้นก็จะไม่เป็นไปตามปกติ แต่จะมีแนวโน้มไปสู่การกระจายแบบล็อกนอร์มัลนั่นคือการลดลงอย่างรวดเร็วไปทางซ้ายของค่าเฉลี่ยและ "หางยาว" ที่เอียงไปทางด้านขวาของค่าเฉลี่ย

สิ่งนี้มักจะนำไปสู่ความสับสนที่อาจเกิดขึ้นสำหรับนักเรียนครั้งแรก:

ผลตอบแทน ราคาจะกระจายตามปกติ ระดับ ราคา จะ ถูกกระจายเข้าสู่ระบบตามปกติ

คิดแบบนี้: สต็อกสามารถกลับขึ้นหรือลง 5% หรือ 10% แต่หลังจากช่วงระยะเวลาหนึ่งราคาหุ้นไม่สามารถติดลบได้ ยิ่งไปกว่านั้นราคาที่เพิ่มขึ้นในหัวกลับมีผลประกอบการประนอมในขณะที่ราคาลดลงในข้อเสียลดฐาน: สูญเสีย 10% และคุณจะเหลือน้อยกว่าที่จะสูญเสียในครั้งต่อไป

นี่คือแผนภูมิของการแจกแจงล็อกนอร์มอลที่วางซ้อนบนสมมติฐานที่เราแสดง (เช่นราคาเริ่มต้นที่ $ 10):

บรรทัดล่าง

การจำลองแบบมอนติคาร์โลใช้โมเดลที่เลือก (ซึ่งระบุพฤติกรรมของเครื่องมือ) กับชุดการทดลองแบบสุ่มจำนวนมากในความพยายามที่จะสร้างชุดผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ในอนาคตที่เป็นไปได้ ในการจำลองราคาหุ้นแบบจำลองที่พบบ่อยที่สุดคือการเคลื่อนไหว Brownian เรขาคณิต (GBM) GBM สันนิษฐานว่าการดริฟท์คงที่มาพร้อมกับการกระแทกแบบสุ่ม ในขณะที่ระยะเวลาส่งคืนภายใต้ GBM จะกระจายตามปกติระดับราคาหลายช่วงเวลาที่ตามมา (เช่นสิบวัน) จะมีการกระจายระดับ lognormally

สารบัญ: