นิยามทฤษฎีบทของเบย์

ทฤษฎีบทของเบย์คืออะไร

ทฤษฎีบทของเบย์ซึ่งตั้งชื่อตามโทมัสเบย์นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษสมัยศตวรรษที่ 18 เป็นสูตรทางคณิตศาสตร์สำหรับการหาความน่าจะเป็นตามเงื่อนไข ทฤษฎีบทนี้มีวิธีในการทบทวนการทำนายหรือทฤษฎีที่มีอยู่ (ความน่าจะเป็นที่ได้รับการอัพเดต) ที่ได้รับจากหลักฐานใหม่ ในทางการเงินทฤษฎีบทของเบย์สามารถใช้ในการจัดอันดับความเสี่ยงของการให้กู้ยืมเงินแก่ผู้ที่มีศักยภาพ

ทฤษฎีบทของเบย์เรียกอีกอย่างว่ากฎของเบย์หรือกฎของเบย์และเป็นรากฐานของสถิติเบย์

ประเด็นที่สำคัญ

ทฤษฎีบทของเบย์ช่วยให้คุณอัปเดตความน่าจะเป็นที่คาดการณ์ของเหตุการณ์โดยการรวมข้อมูลใหม่ทฤษฎีบทของเบย์ได้รับการตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์โทมัสเบย์ศตวรรษที่ 18 มันมักถูกใช้ในด้านการเงิน

สูตรสำหรับทฤษฎีบทของเบย์

$\begin{matrix} P (| B) = \frac{P (⋂ B)}{P (B)} = \frac{P () \cdot P (B |)}{P (B)} \\ ที่อยู่: \\ P () = ความน่าจะเป็นที่เกิดขึ้น \\ P (B) = ความน่าจะเป็นของการเกิด B \\ P (| B) = ความน่าจะเป็นของ A ที่ให้ B \\ P (B |) = ความน่าจะเป็นที่ B ได้รับ A \\ P (⋂ B)) = ความน่าจะเป็นของทั้ง A และ B ที่เกิดขึ้น \end{matrix} \ start {aligned} & P \ left (A | B \ right) = \ frac {P \ left (A \ bigcap {B} right)} {P \ left (B \ right)} = \ frac {P \ left (A \ right) cdotP \ left (B} {P \ left (B \ right)} \ & \ textbf {โดยที่:} \ & P \ left (A \ right) = \ text {ความน่าจะเป็นที่เกิดขึ้น } \ & P \ left (B \ right) = \ text {ความน่าจะเป็นที่เกิดขึ้น B} \ & P \ left (A | B \ right) = \ text {ความน่าจะเป็นที่ได้รับ A B} \ & P \ left (B | A \ right) = \ text {ความน่าจะเป็นของ B ที่ให้ A} \ & P \ left (A \ bigcap {B} right)) = \ text {ความน่าจะเป็นของ A และ B ที่เกิดขึ้น} \ \ end {} ชิด$ P (A∣B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) ⋅P (B∣A) โดยที่: P (A) = ความน่าจะเป็นของ A ที่เกิดขึ้น P (B) = ความน่าจะเป็นของ B ที่เกิดขึ้น P (A∣B) = ความน่าจะเป็นของ BP ที่กำหนด (B∣A) = ความน่าจะเป็นของ B ที่ได้รับ AP (A⋂B)) = ความน่าจะเป็นของ A และ B ที่เกิดขึ้น

ทฤษฎีบทของเบย์อธิบาย

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทนั้นแพร่หลายและไม่ จำกัด เฉพาะขอบเขตทางการเงิน ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทของเบย์สามารถใช้ในการกำหนดความถูกต้องของผลการทดสอบทางการแพทย์โดยคำนึงถึงโอกาสที่บุคคลใดบุคคลหนึ่งจะมีโรคและความแม่นยำทั่วไปของการทดสอบ ทฤษฎีบทของเบย์อาศัยการผสมผสานความน่าจะเป็นก่อนหน้าเพื่อสร้างความน่าจะเป็นหลัง ความน่าจะเป็นก่อนหน้านี้ในการอนุมานเชิงสถิติแบบเบย์คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ก่อนที่จะมีการรวบรวมข้อมูลใหม่ นี่คือการประเมินเหตุผลที่ดีที่สุดของความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ตามความรู้ในปัจจุบันก่อนที่จะทำการทดสอบ ความน่าจะเป็นหลังคือความน่าจะเป็นที่แก้ไขของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นหลังจากพิจารณาข้อมูลใหม่ ความน่าจะเป็นหลังคำนวณโดยการอัพเดทความน่าจะเป็นก่อนหน้านี้โดยใช้ทฤษฎีบทของเบย์ ในแง่สถิติความน่าจะเป็นหลังคือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นเนื่องจากเหตุการณ์ B เกิดขึ้น

ทฤษฎีบทของเบย์จึงให้ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตามข้อมูลใหม่ที่เกี่ยวข้องหรืออาจเกี่ยวข้องกับเหตุการณ์นั้น สูตรนี้ยังสามารถใช้เพื่อดูว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นได้รับผลกระทบจากข้อมูลใหม่สมมุติหรือไม่หากว่าข้อมูลใหม่จะกลายเป็นจริง ตัวอย่างเช่นสมมติว่าไพ่ใบเดียวถูกดึงมาจากสำรับไพ่ 52 ใบสมบูรณ์ ความน่าจะเป็นที่ไพ่นั้นเป็นราชาคือ 4 หารด้วย 52 ซึ่งเท่ากับ 1/13 หรือประมาณ 7.69% จำไว้ว่ามีกษัตริย์ 4 องค์อยู่บนดาดฟ้า ทีนี้สมมติว่ามีการเปิดเผยว่าการ์ดที่เลือกนั้นเป็นการ์ดใบหน้า ความน่าจะเป็นที่การ์ดที่เลือกนั้นเป็นราชาเนื่องจากมันเป็นไพ่หน้าคือ 4 หารด้วย 12 หรือประมาณ 33.3% เนื่องจากมีไพ่หน้า 12 ใบในสำรับ

ได้รับตัวอย่างทฤษฎีบทของ Bayes 'พร้อมตัวอย่าง

ทฤษฎีบทของเบย์ตามมาจากสัจพจน์ของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขคือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นเมื่อมีเหตุการณ์อื่นเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่นคำถามความน่าจะเป็นที่เรียบง่ายอาจถาม: "ความน่าจะเป็นของ Amazon.com, Inc., (NYSE: AMZN) คือราคาที่ลดลง?" ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขใช้คำถามนี้อีกขั้นหนึ่งโดยถามว่า: "ความน่าจะเป็นของราคาหุ้น AMZN ลดลง เนื่องจาก ดัชนี Dow Jones Industrial Average (DJIA) ลดลงก่อนหน้านี้อย่างไร"

ความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขของ A เนื่องจาก B เกิดขึ้นสามารถแสดงเป็น:

ถ้า A คือ: "ราคาของ AMZN ตกลง" ดังนั้น P (AMZN) คือความน่าจะเป็นที่ AMZN ตกลง และ B คือ: "DJIA ปิดตัวลงแล้ว" และ P (DJIA) คือความน่าจะเป็นที่ DJIA ตกลง; จากนั้นนิพจน์ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขจะอ่านว่า "ความน่าจะเป็นที่ AMZN ลดลงเนื่องจากการลดลงของ DJIA เท่ากับความน่าจะเป็นที่ราคา AMZN ลดลงและ DJIA ลดลงจากความน่าจะเป็นที่ลดลงในดัชนี DJIA

P (AMZN | DJIA) = P (AMZN และ DJIA) / P (DJIA)

P (AMZN และ DJIA) เป็นความน่าจะเป็นที่เกิดขึ้น ทั้ง A และ B นี่ก็เป็นเช่นเดียวกันกับความน่าจะเป็นที่เกิดขึ้นคูณกับความน่าจะเป็นที่ B เกิดขึ้นจากการที่ A เกิดขึ้นซึ่งแสดงเป็น P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) ความจริงที่ว่านิพจน์ทั้งสองนี้มีค่าเท่ากันนำไปสู่ทฤษฎีบทของเบย์ซึ่งเขียนเป็น:

ถ้า P (AMZN และ DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)

จากนั้น P (AMZN | DJIA) = / P (DJIA)

ที่ P (AMZN) และ P (DJIA) น่าจะเป็นของ Amazon และ Dow Jones ที่ตกลงมาโดยไม่คำนึงถึงกันและกัน

สูตรอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างความน่าจะเป็นของสมมติฐานก่อนที่จะเห็นหลักฐานที่ P (AMZN) และความน่าจะเป็นของสมมติฐานหลังจากได้รับหลักฐาน P (AMZN | DJIA) ให้สมมติฐานสำหรับ Amazon ที่ได้รับหลักฐานใน Dow

ตัวอย่างเชิงตัวเลขของทฤษฎีบทของเบย์

เป็นตัวอย่างเชิงตัวเลขลองจินตนาการว่ามีการทดสอบยาที่มีความแม่นยำ 98% หมายถึง 98% ของเวลาที่แสดงผลลัพธ์ที่เป็นบวกอย่างแท้จริงสำหรับผู้ที่ใช้ยาและ 98% ของเวลาที่แสดงผลลัพธ์เชิงลบที่แท้จริงสำหรับผู้ที่ไม่ใช่ผู้ใช้ ยา. ถัดไปสมมติว่า 0.5% ของคนใช้ยา หากบุคคลที่เลือกในการทดสอบแบบสุ่มเป็นบวกสำหรับยาการคำนวณต่อไปนี้สามารถทำเพื่อดูว่าความน่าจะเป็นที่บุคคลนั้นเป็นผู้ใช้ยาหรือไม่

(0.98 x 0.005) / = 0.0049 / (0.0049 + 0.0199) = 19.76%

ทฤษฎีบทของเบย์แสดงให้เห็นว่าแม้ว่าคนที่ทดสอบความเป็นบวกในสถานการณ์นี้จะเป็นไปได้ว่าบุคคลนั้นไม่ใช่ผู้ใช้ยา

สารบัญ: