นักลงทุนต้องการที่จะมุ่งเน้นไปที่คำมั่นสัญญาของผลตอบแทนที่สูง แต่พวกเขาควรถามความเสี่ยงที่พวกเขาต้องรับเพื่อแลกกับผลตอบแทนเหล่านี้ แม้ว่าเรามักพูดถึงความเสี่ยงในแง่ทั่วไป แต่ก็มีการแสดงออกอย่างเป็นทางการของความสัมพันธ์กับรางวัลความเสี่ยง ตัวอย่างเช่นอัตราส่วน Sharpe วัดผลตอบแทนส่วนเกินต่อความเสี่ยงโดยคำนวณความเสี่ยงเป็นความผันผวนซึ่งเป็นการวัดความเสี่ยงแบบดั้งเดิมและเป็นที่นิยม คุณสมบัติทางสถิติของมันเป็นที่รู้จักกันดีและมันถูกป้อนเข้าสู่กรอบงานหลายอย่างเช่นทฤษฎีพอร์ตโฟลิโอสมัยใหม่และโมเดล Black-Scholes เราตรวจสอบความผันผวนเพื่อให้เข้าใจการใช้งานและขีด จำกัด ของมัน
ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานต่อปี
แตกต่างจากความผันผวนโดยนัย - ซึ่งเป็นของทฤษฎีการกำหนดราคาตัวเลือกและเป็นการประมาณการที่เป็นการคาดการณ์ในอนาคตซึ่งขึ้นอยู่กับฉันทามติของตลาด - ความผันผวนปกติดูย้อนหลัง มันเป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานแบบรายปีของผลตอบแทนทางประวัติศาสตร์
กรอบความเสี่ยงแบบดั้งเดิมที่อาศัยความเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยทั่วไปถือว่าผลตอบแทนเป็นไปตามการกระจายตัวของรูประฆังปกติ การแจกแจงแบบปกติให้แนวทางที่เป็นประโยชน์กับเรา: ประมาณสองในสามของเวลา (68.3%) ผลตอบแทนควรอยู่ในส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเดียว (+/-) และ 95% ของเวลาผลตอบแทนควรอยู่ในส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานสองค่า กราฟคุณภาพการแจกแจงแบบปกติสองแบบคือ "ก้อย" และสมมาตรที่สมบูรณ์แบบ หางผอมหมายถึงการเกิดขึ้นน้อยมาก (ประมาณ 0.3% ของเวลา) ของผลตอบแทนที่มากกว่าสามส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานห่างจากค่าเฉลี่ย สมมาตรแสดงให้เห็นว่าความถี่และขนาดของกำไรที่เพิ่มขึ้นเป็นภาพสะท้อนของการสูญเสียข้อเสีย
ดู: ผลกระทบของความผันผวนต่อผลตอบแทนของตลาด
ดังนั้นโมเดลดั้งเดิมถือว่าความไม่แน่นอนทั้งหมดเป็นความเสี่ยงโดยไม่คำนึงถึงทิศทาง ดังที่หลาย ๆ คนแสดงให้เห็นว่าเป็นปัญหาถ้าผลตอบแทนไม่สมมาตร - นักลงทุนกังวลเกี่ยวกับการสูญเสีย "ทางซ้าย" ของค่าเฉลี่ย แต่พวกเขาไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับการได้รับสิทธิทางด้านขวาโดยเฉลี่ย
เราแสดงให้เห็นถึงการเล่นโวหารนี้ด้านล่างด้วยสองหุ้นสมมติ สต็อกที่ตกลงมา (เส้นสีน้ำเงิน) นั้นเต็มที่โดยไม่มีการกระจายตัวและทำให้เกิดความผันผวนของศูนย์ แต่หุ้นที่เพิ่มขึ้น - เพราะมันแสดงให้เห็นถึงแรงกระแทกในหลาย ๆ ด้าน แต่ไม่ใช่การตกครั้งเดียว - ทำให้เกิดความผันผวน
คุณสมบัติทางทฤษฎี
ตัวอย่างเช่นเมื่อเราคำนวณความผันผวนของดัชนี S&P 500 ณ วันที่ 31 มกราคม 2004 เราจะได้รับทุกที่จาก 14.7% ถึง 21.1% ทำไมต้องเป็นช่วง? เพราะเราต้องเลือกทั้งช่วงเวลาและช่วงเวลาในประวัติศาสตร์ ในเรื่องเกี่ยวกับช่วงเวลาเราสามารถรวบรวมชุดของผลตอบแทนรายเดือนรายสัปดาห์หรือรายวัน (แม้กระทั่งภายในวัน) และชุดผลตอบแทนของเราสามารถขยายย้อนหลังไปได้ในช่วงระยะเวลาประวัติศาสตร์ไม่ว่าจะเป็นความยาวใด ๆ เช่นสามปีห้าปีหรือ 10 ปี ด้านล่างเราได้คำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลตอบแทนสำหรับ S&P 500 ในช่วง 10 ปีโดยใช้ช่วงเวลาต่างกันสามช่วงดังนี้
ขอให้สังเกตว่าความผันผวนจะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้น แต่ไม่ใกล้เคียงกับสัดส่วน: รายสัปดาห์ไม่เกือบห้าเท่าของจำนวนเงินรายวันและรายเดือนไม่เกือบสี่เท่าของรายสัปดาห์ เราได้มาถึงประเด็นสำคัญของทฤษฎีการเดินแบบสุ่ม: สัดส่วนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (เพิ่มขึ้น) ตามสัดส่วนของสแควร์รูทของเวลา ดังนั้นหากค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานรายวันคือ 1.1% และหากมี 250 วันทำการในหนึ่งปีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานแบบรายปีคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานรายวันที่ 1.1% คูณด้วยรากที่สองของ 250 (1.1% x 15.8 = 18.1%). เมื่อรู้สิ่งนี้เราสามารถทำให้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของช่วงเวลาเป็นรายปีสำหรับ S&P 500 โดยการคูณด้วยสแควร์รูทของจำนวนช่วงเวลาในหนึ่งปี:
คุณสมบัติทางทฤษฎีอื่นของความผันผวนอาจหรือไม่อาจทำให้คุณประหลาดใจ: มันกัดเซาะผลตอบแทน นี่เป็นเพราะข้อสันนิษฐานที่สำคัญของแนวคิดการเดินสุ่ม: การส่งคืนนั้นแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ ลองนึกภาพคุณเริ่มต้นด้วย $ 100 จากนั้นรับ 10% เพื่อรับ $ 110 จากนั้นคุณจะสูญเสีย 10% ซึ่งคุณ $ 99 ($ 110 x 90% = $ 99) จากนั้นคุณจะได้รับ 10% อีกครั้งเพื่อสุทธิ $ 108.90 ($ 99 x 110% = $ 108.9) ในที่สุดคุณจะสูญเสีย 10% เป็น Net $ 98.01 มันอาจจะตอบโต้ได้ง่าย ๆ แต่เงินต้นของคุณจะเซาะอย่างช้า ๆ แม้ว่ากำไรเฉลี่ยของคุณคือ 0%!
ตัวอย่างเช่นหากคุณคาดหวังกำไรเฉลี่ยต่อปีที่ 10% ต่อปี (เช่นค่าเฉลี่ยเลขคณิต) ปรากฎว่ากำไรที่คาดว่าจะได้ในระยะยาวของคุณนั้นน้อยกว่า 10% ต่อปี ในความเป็นจริงมันจะลดลงประมาณครึ่งหนึ่งของความแปรปรวน (โดยที่ความแปรปรวนคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานกำลังสอง) ในสมมุติฐานที่บริสุทธิ์ด้านล่างเราเริ่มต้นด้วย $ 100 จากนั้นลองจินตนาการถึงความผันผวนห้าปีที่จะจบด้วย $ 157:
ผลตอบแทนประจำปีโดยเฉลี่ยในช่วงห้าปีคือ 10% (15% + 0% + 20% - 5% + 20% = 50% ÷ 5 = 10%) แต่อัตราการเติบโตประจำปีแบบผสม (CAGR หรือผลตอบแทนทางเรขาคณิต) คือ การวัดที่แม่นยำยิ่งขึ้นของการรับรู้ที่ได้รับและมันเป็นเพียง 9.49% ความผันผวนกัดเซาะผลและความแตกต่างประมาณครึ่งหนึ่งของความแปรปรวน 1.1% ผลลัพธ์เหล่านี้ไม่ได้มาจากตัวอย่างที่ผ่านมา แต่ในแง่ของความคาดหวังให้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของ σ (ความแปรปรวนคือกำลังสองของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน) σ2และกำไรเฉลี่ยที่คาดหวังของ μผลตอบแทนที่คาดหวังรายปีอยู่ที่ประมาณ μ- (σ2÷ 2)
ผลตอบแทนที่ได้เป็นอย่างดี?
กรอบทฤษฎีไม่ต้องสงสัยเลยว่าสง่างาม แต่มันก็ขึ้นอยู่กับผลตอบแทนที่ประพฤติดี กล่าวคือการแจกแจงแบบปกติและการเดินสุ่ม (เช่นความเป็นอิสระจากช่วงเวลาหนึ่งไปยังอีกช่วงเวลาถัดไป) สิ่งนี้เปรียบเทียบกับความเป็นจริงได้อย่างไร? เรารวบรวมผลตอบแทนรายวันในช่วง 10 ปีที่ผ่านมาสำหรับ S&P 500 และ Nasdaq ด้านล่าง (ประมาณ 2, 500 การสังเกตรายวัน):
ตามที่คุณคาดหวังความผันผวนของ Nasdaq (ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานแบบรายปีที่ 28.8%) นั้นสูงกว่าความผันผวนของ S&P 500 (ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานแบบรายปีที่ 18.1%) เราสามารถสังเกตเห็นความแตกต่างสองอย่างระหว่างการแจกแจงแบบปกติและผลตอบแทนจริง ครั้งแรกผลตอบแทนที่แท้จริงมียอดสูง - หมายถึงความยิ่งใหญ่กว่าผลตอบแทนใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ย ประการที่สองผลตอบแทนที่แท้จริงมีหางที่อ้วนขึ้น (การค้นพบของเราค่อนข้างสอดคล้องกับการศึกษาเชิงวิชาการที่กว้างขวางกว่าซึ่งมีแนวโน้มที่จะพบยอดเขาสูงและหางอ้วนคำศัพท์ทางเทคนิคสำหรับเรื่องนี้คือ kurtosis) สมมติว่าเราพิจารณาลบค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสามค่าเพื่อเป็นการสูญเสียครั้งใหญ่: S&P 500 ประสบกับการสูญเสียรายวันของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานลบสามครั้งประมาณ -3.4% ของเวลา เส้นโค้งปกติทำนายการสูญเสียดังกล่าวจะเกิดขึ้นประมาณสามครั้งในรอบ 10 ปี แต่จริงๆแล้วมันเกิดขึ้น 14 ครั้ง!
นี่คือการแจกแจงของการส่งกลับช่วงเวลาแยกกัน แต่ทฤษฎีพูดถึงผลตอบแทนเมื่อเวลาผ่านไปอย่างไร ในการทดสอบเรามาดูการกระจายรายวันที่แท้จริงของ S&P 500 ด้านบน ในกรณีนี้ผลตอบแทนประจำปีเฉลี่ย (ในช่วง 10 ปีที่ผ่านมา) อยู่ที่ประมาณ 10.6% และตามที่กล่าวไว้ความผันผวนรายปีอยู่ที่ 18.1% ที่นี่เราทำการทดลองสมมุติฐานโดยเริ่มต้นที่ $ 100 และถือไว้นานกว่า 10 ปี แต่เราเปิดเผยการลงทุนในแต่ละปีเพื่อผลลัพธ์แบบสุ่มที่เฉลี่ย 10.6% ด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ 18.1% การทดลองนี้ทำเสร็จ 500 ครั้งทำให้เป็นแบบจำลองที่เรียกว่า Monte Carlo ผลลัพธ์สุดท้ายของการทดสอบ 500 ครั้งมีดังนี้:
การกระจายปกติจะแสดงเป็นฉากหลังเพียงอย่างเดียวเพื่อเน้นผลลัพธ์ที่ไม่ธรรมดามากนัก ในทางเทคนิคผลลัพธ์ราคาสุดท้ายเป็น lognormal (หมายความว่าหากแกน x ถูกแปลงเป็นบันทึกธรรมชาติของ x การกระจายจะดูปกติมากขึ้น) ประเด็นก็คือผลลัพธ์ราคาหลายรายการเดินไปทางขวา: จากการทดลอง 500 ครั้งผลลัพธ์หกรายการสร้างผลลัพธ์เมื่อสิ้นสุดระยะเวลา $ 700! ผลลัพธ์ที่มีค่าเหล่านี้สามารถสร้างรายได้มากกว่า 20% โดยเฉลี่ยในแต่ละปีนานกว่า 10 ปี ทางด้านซ้ายมือเนื่องจากยอดคงเหลือที่ลดลงช่วยลดผลกระทบสะสมของการสูญเสียเปอร์เซ็นต์เราได้รับผลลัพธ์ขั้นสุดท้ายเพียงไม่ถึง 50 ดอลลาร์เท่านั้น เพื่อสรุปความคิดที่ยากเราสามารถพูดได้ว่าผลตอบแทนของช่วงเวลา - ที่แสดงในรูปของเปอร์เซ็นต์ - มีการกระจายตามปกติ แต่ผลลัพธ์ราคาสุดท้ายจะได้รับการกระจายโดยทั่วไป
ดู: โมเดลหลายตัวแปร: การวิเคราะห์ Monte Carlo
ในที่สุดการค้นหาอีกครั้งของการทดลองของเรานั้นสอดคล้องกับ "ผลกระทบจากการกัดเซาะ" ของความผันผวน: หากการลงทุนของคุณได้รับค่าเฉลี่ยทุกปีคุณจะถือประมาณ $ 273 ในตอนท้าย (10.6% รวม 10 ปี) แต่ในการทดลองนี้กำไรโดยรวมที่เราคาดไว้ใกล้เคียงกับ $ 250 กล่าวอีกนัยหนึ่งว่ากำไรเฉลี่ยต่อปี (เลขคณิต) คือ 10.6% แต่กำไรสะสม (เรขาคณิต) น้อยกว่า
โปรดทราบว่าการจำลองสถานการณ์ของเราถือว่าเป็นการเดินแบบสุ่ม: ถือว่าการเดินกลับจากช่วงเวลาหนึ่งไปยังอีกช่วงเวลาหนึ่งนั้นเป็นอิสระอย่างสิ้นเชิง เราไม่ได้พิสูจน์ด้วยวิธีการใด ๆ และไม่ใช่ข้อสันนิษฐานเล็กน้อย หากคุณเชื่อว่าผลตอบแทนเป็นไปตามแนวโน้มคุณกำลังพูดว่าพวกเขาแสดงความสัมพันธ์เชิงบวกแบบเชิงบวก หากคุณคิดว่าพวกเขาเปลี่ยนกลับไปเป็นค่าเฉลี่ยแล้วในทางเทคนิคคุณกำลังพูดว่าพวกเขาแสดงความสัมพันธ์เชิงลบต่อเนื่อง ท่าทางไม่สอดคล้องกับความเป็นอิสระ
บรรทัดล่าง
ความผันผวนคือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลตอบแทนประจำปี ในกรอบทฤษฎีดั้งเดิมมันไม่เพียง แต่วัดความเสี่ยงเท่านั้น แต่ยังส่งผลต่อความคาดหวังของผลตอบแทนระยะยาว (หลายช่วงเวลา) ดังนั้นจึงขอให้เรายอมรับสมมติฐานที่น่าสงสัยว่าการส่งคืนตามช่วงเวลานั้นมีการแจกแจงตามปกติและเป็นอิสระ หากสมมติฐานเหล่านี้เป็นจริงความผันผวนสูงเป็นดาบสองคม: มันกัดเซาะผลตอบแทนระยะยาวของคุณ (ช่วยลดค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต) แต่ก็ให้โอกาสคุณมากขึ้นในการสร้างกำไรจำนวนมาก
ดู: ความผันผวนโดยนัย: ซื้อต่ำและขายสูง
