วิธีสร้างแบบจำลองการประเมินเช่นสีดำ

ตัวเลือกที่มีคุณค่าสามารถเป็นธุรกิจที่ยุ่งยาก พิจารณาสถานการณ์สมมติต่อไปนี้: ในเดือนมกราคม 2558 หุ้น IBM ซื้อขายที่ $ 155 และคุณคาดว่าจะเพิ่มสูงขึ้นในอีกหนึ่งปี คุณตั้งใจจะซื้อตัวเลือกการโทรในสต็อค IBM ด้วยราคาการนัดหยุดงาน ATM ที่ $ 155 คาดว่าจะได้รับประโยชน์จากผลตอบแทนที่สูงตามราคาตัวเลือกเล็ก ๆ (ตัวเลือกพรีเมียม) เปรียบเทียบกับการซื้อหุ้นที่มีราคาซื้อสูง

มูลค่ายุติธรรมของตัวเลือกการโทรนี้บน IBM ควรเป็นอย่างไร

วันนี้มีวิธีการสำเร็จรูปสองสามแบบที่พร้อมใช้งานสำหรับตัวเลือกค่ารวมถึงโมเดล Black-Scholes และโมเดลต้นไม้ทวินามซึ่งสามารถให้คำตอบได้อย่างรวดเร็ว แต่อะไรคือปัจจัยพื้นฐานและแนวคิดการขับขี่ที่จะมาถึงตัวแบบการประเมินมูลค่าดังกล่าว สามารถจัดทำสิ่งที่คล้ายกันโดยใช้แนวคิดของโมเดลเหล่านี้ได้หรือไม่

ที่นี่เราครอบคลุมหน่วยการสร้างแนวความคิดพื้นฐานและปัจจัยที่สามารถใช้เป็นกรอบในการสร้างแบบจำลองการประเมินมูลค่าสำหรับสินทรัพย์เช่นตัวเลือกให้การเปรียบเทียบแบบเคียงข้างกับที่มาของ Black-Scholes (BS)) โมเดล

โลกก่อน Black-Scholes

ก่อนที่จะมี Black-Scholes รูปแบบการกำหนดราคาสินทรัพย์ทุน (CAPM) ที่อิงตามดุลยภาพนั้นมีการติดตามอย่างกว้างขวาง ผลตอบแทนและความเสี่ยงมีความสมดุลซึ่งกันและกันตามความต้องการของนักลงทุนเช่นนักลงทุนที่รับความเสี่ยงสูงคาดว่าจะได้รับการชดเชยด้วย (ศักยภาพของ) ผลตอบแทนที่สูงขึ้นในสัดส่วนที่ใกล้เคียงกัน

แบบจำลอง BS ค้นหารากฐานของมันใน CAPM อ้างอิงจากฟิชเชอร์แบล็ก:“ ฉันใช้แบบจำลองการกำหนดราคาสินทรัพย์ทุนทุกช่วงเวลาในชีวิตของใบสำคัญแสดงสิทธิสำหรับทุกราคาหุ้นและมูลค่าที่เป็นไปได้” โชคไม่ดีที่ CAPM ไม่สามารถทำตามข้อกำหนดของการกำหนดราคา

Black-Scholes ยังคงเป็นโมเดลแรกโดยยึดตามแนวคิดของการเก็งกำไรทำให้เกิดการเปลี่ยนกระบวนทัศน์จากโมเดลที่อิงตามความเสี่ยง (เช่น CAPM) การพัฒนาแบบจำลอง BS ใหม่นี้แทนที่แนวคิดการคืนสต็อก CAPM ด้วยการรับรู้ถึงความจริงที่ว่าตำแหน่งที่ได้รับการป้องกันอย่างสมบูรณ์จะได้รับอัตราความเสี่ยงโดยปราศจากความเสี่ยง สิ่งนี้ได้นำความเสี่ยงและผลตอบแทนกลับมาและสร้างแนวคิดของการเก็งกำไรโดยการประเมินมูลค่าดำเนินการบนสมมติฐานของแนวคิดที่เป็นกลางต่อความเสี่ยง - ตำแหน่งที่ปราศจากความเสี่ยง (ปราศจากความเสี่ยง) ควรนำไปสู่อัตราผลตอบแทนที่ปราศจากความเสี่ยง

การพัฒนา Black-Scholes

เริ่มต้นด้วยการสร้างปัญหาหาปริมาณและพัฒนากรอบการทำงานสำหรับการแก้ปัญหา เราดำเนินการกับตัวอย่างของเราในการประเมินค่าตัวเลือกการโทรผ่าน ATM บน IBM ด้วยราคาที่ใช้ตี $ 155 พร้อมกับหมดอายุหนึ่งปี

บนพื้นฐานของคำจำกัดความพื้นฐานของตัวเลือกการโทรเว้นแต่ว่าราคาหุ้นจะถึงระดับราคาใช้สิทธิการจ่ายเงินจะยังคงเป็นศูนย์ โพสต์ในระดับนั้นผลตอบแทนเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรง (กล่าวคือการเพิ่มขึ้นหนึ่งดอลลาร์ในพื้นฐานจะให้ผลตอบแทนหนึ่งดอลลาร์จากตัวเลือกการโทร)

สมมติว่าผู้ซื้อและผู้ขายเห็นด้วยกับการประเมินราคาที่ยุติธรรม (รวมถึงราคาที่เป็นศูนย์) ราคายุติธรรมทางทฤษฎีสำหรับตัวเลือกการโทรนี้จะเป็น:

• ราคาตัวเลือกการโทร = $ 0, ถ้าการหยุดงานประท้วง (กราฟสีแดง) ราคาตัวเลือกการโทร = (ขีดเส้นใต้ - การนัดหยุดงาน), หากรองรับ> = การประท้วง (กราฟสีน้ำเงิน)

สิ่งนี้แสดงถึงค่าที่แท้จริงของตัวเลือกและดูสมบูรณ์แบบจากมุมมองของผู้ซื้อตัวเลือกการโทร ในภูมิภาคสีแดงทั้งผู้ซื้อและผู้ขายมีการประเมินค่าที่เป็นธรรม (ราคาเป็นศูนย์ต่อผู้ขาย, ไม่มีการจ่ายเงินให้ผู้ซื้อเป็นศูนย์) อย่างไรก็ตามความท้าทายในการประเมินมูลค่าเริ่มต้นด้วยพื้นที่สีฟ้าเนื่องจากผู้ซื้อมีข้อได้เปรียบจากผลตอบแทนที่เป็นบวกในขณะที่ผู้ขายได้รับผลขาดทุน (โดยมีเงื่อนไขว่าราคาอ้างอิงสูงกว่าราคาที่ใช้สิทธิ) นี่คือที่ที่ผู้ซื้อมีข้อได้เปรียบเหนือผู้ขายด้วยราคาที่เป็นศูนย์ การกำหนดราคาจะต้องไม่ใช่ศูนย์เพื่อชดเชยความเสี่ยงที่ผู้ขายจะได้รับ

ในกรณีก่อนหน้านี้ (กราฟสีแดง) ในทางทฤษฎีผู้ขายจะได้รับราคาเป็นศูนย์และมีโอกาสที่จะจ่ายผลตอบแทนเป็นศูนย์สำหรับผู้ซื้อ (ยุติธรรมสำหรับทั้งสอง) ในกรณีหลัง (กราฟสีฟ้า) ผู้ขายจะต้องจ่ายส่วนต่างระหว่างการอ้างอิงและการประท้วง ความเสี่ยงของผู้ขายครอบคลุมตลอดระยะเวลาตลอดทั้งปี ตัวอย่างเช่นราคาหุ้นอ้างอิงสามารถเคลื่อนไหวสูงมาก (พูดกับ $ 200 ในเวลาสี่เดือน) และผู้ขายจะต้องจ่ายส่วนต่างของ $ 45 ให้กับผู้ซื้อ

ดังนั้นจึงเดือดลงไปที่:

1. ราคาของไม้ขีดต้นแบบจะมีราคาใช้สิทธิหรือไม่ถ้ามีราคาอ้างอิงจะสูงเท่าใด (ซึ่งจะเป็นตัวกำหนดผลตอบแทนให้กับผู้ซื้อ)

สิ่งนี้บ่งบอกถึงความเสี่ยงครั้งใหญ่ของผู้ขายซึ่งนำไปสู่คำถาม - ทำไมใครบางคนถึงขายโทรศัพท์ดังกล่าวหากพวกเขาไม่ได้รับความเสี่ยงที่พวกเขาทำ

เป้าหมายของเราคือการมาถึงในราคาเดียวที่ผู้ขายควรเรียกเก็บเงินจากผู้ซื้อซึ่งสามารถชดเชยความเสี่ยงโดยรวมที่เขาใช้เวลามากกว่าหนึ่งปีทั้งในภูมิภาคการชำระเงินที่เป็นศูนย์ (สีแดง) และภูมิภาคการชำระเงินเชิงเส้น (สีน้ำเงิน). ราคาควรเป็นธรรมและเป็นที่ยอมรับของทั้งผู้ซื้อและผู้ขาย ถ้าไม่เช่นนั้นคนที่เสียเปรียบในแง่ของการจ่ายเงินหรือรับราคาที่ไม่ยุติธรรมจะไม่เข้าร่วมในตลาดดังนั้นการเอาชนะวัตถุประสงค์ของธุรกิจการค้า แบบจำลอง Black-Scholes ตั้งเป้าหมายที่จะสร้างราคาที่ยุติธรรมนี้โดยพิจารณาจากความผันแปรของราคาคงที่ของหุ้นมูลค่าเวลาของราคาตัวเลือกการนัดหยุดงานราคาและเวลาที่ตัวเลือกหมดอายุ คล้ายกับแบบจำลอง BS ลองมาดูกันว่าเราจะประเมินวิธีนี้อย่างไรสำหรับตัวอย่างโดยใช้วิธีการของเราเอง

วิธีการประเมินมูลค่าที่แท้จริงในภูมิภาคสีน้ำเงิน?

มีวิธีการสองสามวิธีในการทำนายการเคลื่อนไหวของราคาที่คาดหวังในอนาคตในช่วงเวลาที่กำหนด:

• หนึ่งสามารถวิเคราะห์การเคลื่อนไหวของราคาที่คล้ายกันในช่วงเวลาเดียวกันในอดีตที่ผ่านมา ราคาปิดของ IBM ในอดีตบ่งชี้ว่าในหนึ่งปีที่ผ่านมา (2 มกราคม 2014 ถึง 31 ธันวาคม 2014) ราคาลดลงสู่ $ 160.44 จาก $ 185.53 ลดลง 13.5% เราสามารถสรุปการย้ายราคา -13.5% สำหรับ IBM ได้หรือไม่การตรวจสอบรายละเอียดเพิ่มเติมบ่งชี้ว่ามันแตะระดับสูงสุดปีละ $ 199.21 (วันที่ 10 เมษายน 2014) และต่ำสุดปีละ $ 150.5 (วันที่ 16 ธันวาคม 2014) การอ้างอิงเหล่านี้ในวันเริ่มต้น 2 มกราคม 2014 และราคาปิดของ $ 185.53 การเปลี่ยนแปลงเปอร์เซ็นต์จะแตกต่างจาก + 7.37% ถึง -18.88% ตอนนี้ช่วงความแปรปรวนดูกว้างขึ้นมากเมื่อเทียบกับการลดลงที่คำนวณไว้ก่อนหน้านี้ 13.5%

การวิเคราะห์และการสังเกตที่คล้ายกันในข้อมูลประวัติสามารถดำเนินการ ในการพัฒนารูปแบบการกำหนดราคาของเราต่อไปสมมติว่าวิธีการง่าย ๆ นี้เพื่อวัดความแปรปรวนของราคาในอนาคต

สมมติว่า IBM เพิ่มขึ้น 10% ทุกปี (อิงจากข้อมูลย้อนหลังของ 20 ปีที่ผ่านมา) สถิติพื้นฐานระบุว่าความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงราคาหุ้น IBM ที่อยู่เหนือ + 10% จะสูงกว่าความน่าจะเป็นของราคา IBM ที่เพิ่มขึ้น 20% หรือลดลง 30% โดยสมมติว่ารูปแบบทางประวัติศาสตร์ซ้ำ การรวบรวมคะแนนข้อมูลในอดีตที่คล้ายกันพร้อมกับค่าความน่าจะเป็นผลตอบแทนโดยรวมที่คาดหวังจากราคาหุ้นของ IBM ในกรอบเวลาหนึ่งปีสามารถคำนวณเป็นค่าเฉลี่ยความน่าจะเป็นแบบถ่วงน้ำหนักและผลตอบแทนที่เกี่ยวข้อง ตัวอย่างเช่นสมมติว่าข้อมูลราคาในอดีตของ IBM บ่งชี้การเคลื่อนไหวต่อไปนี้:

• (-10%) ใน 25% ของเวลา, + 10% ใน 35% ของเวลา, + 15% ใน 20% ของเวลา, + 20% ใน 10% ของเวลา + 25% ใน 5% ของเวลาและ (-15%) ใน 5% ของเวลา

ดังนั้นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก (หรือมูลค่าที่คาดหวัง) มาถึง:

(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 15% * 5%) / 100% = 6.5%

โดยเฉลี่ยแล้วราคาหุ้น IBM คาดว่าจะได้รับผลตอบแทน + 6.5% ในเวลาหนึ่งปีสำหรับทุกดอลลาร์ หากใครบางคนซื้อหุ้นของ IBM พร้อมกับระยะเวลาหนึ่งปีและราคาซื้อของ $ 155 หนึ่งสามารถคาดหวังผลตอบแทนสุทธิ 155 * 6.5% = $ 10.075

อย่างไรก็ตามนี่คือสำหรับการส่งคืนสินค้า เราต้องมองหาผลตอบแทนที่คาดหวังที่คล้ายกันสำหรับตัวเลือกการโทร

ขึ้นอยู่กับผลตอบแทนที่เป็นศูนย์ของการโทรต่ำกว่าราคาที่ใช้สิทธิ ($ 155 ที่มีอยู่ - การโทร ATM) การเคลื่อนไหวติดลบทั้งหมดจะสร้างผลตอบแทนเป็นศูนย์ในขณะที่การเคลื่อนไหวในเชิงบวกทั้งหมดเหนือ ผลตอบแทนที่คาดหวังสำหรับตัวเลือกการโทรจึงจะเป็น:

(-0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 0 % * 5%) / 100% = 9.75%

นั่นคือสำหรับทุกๆ $ 100 ที่ลงทุนในการซื้อตัวเลือกนี้คุณสามารถคาดหวัง $ 9.75 (ขึ้นอยู่กับสมมติฐานข้างต้น)

อย่างไรก็ตามสิ่งนี้ยังคงถูก จำกัด อยู่ที่การประเมินมูลค่ายุติธรรมของตัวเลือกที่แท้จริงและไม่ได้รับความเสี่ยงที่ถูกต้องโดยผู้ขายตัวเลือกสำหรับการแกว่งสูงที่อาจเกิดขึ้นในระหว่างกาล (ในกรณีของ intrayear สูงและต่ำ ราคา) นอกจากมูลค่าที่แท้จริงแล้วผู้ซื้อและผู้ขายสามารถตกลงราคาใดได้บ้างเพื่อที่ผู้ขายจะได้รับการชดเชยความเสี่ยงอย่างเป็นธรรมในช่วงเวลาหนึ่งปี

ชิงช้าเหล่านี้อาจแตกต่างกันอย่างกว้างขวางและผู้ขายอาจมีการตีความของเขาเองว่าเขาต้องการที่จะได้รับการชดเชยมากแค่ไหน โมเดล Black-Scholes ถือว่าเป็นตัวเลือกประเภทยุโรปเช่นไม่มีการออกกำลังกายก่อนวันหมดอายุ ดังนั้นจึงยังคงไม่ได้รับผลกระทบจากการแกว่งตัวของราคาระดับกลางและใช้การประเมินมูลค่า ณ วันซื้อขายแบบ end-to-end

ในการซื้อขายวันจริงความผันผวนนี้มีบทบาทสำคัญในการกำหนดราคาตัวเลือก ฟังก์ชั่นผลตอบแทนสีน้ำเงินที่เราเห็นกันตามปกติแล้วคือผลตอบแทนในวันที่หมดอายุ ตามจริงราคาตัวเลือก (กราฟสีชมพู) มักจะสูงกว่าผลตอบแทน (กราฟสีน้ำเงิน) ซึ่งแสดงให้เห็นราคาที่ผู้ขายทำเพื่อชดเชยความสามารถในการเสี่ยงของเขา นี่คือสาเหตุที่ราคาออปชั่นเป็นที่รู้จักกันในชื่อออปชั่น“ พรีเมี่ยม” ซึ่งบ่งบอกถึงค่าความเสี่ยง

สิ่งนี้สามารถรวมอยู่ในรูปแบบการประเมินของเราขึ้นอยู่กับความผันผวนของหุ้นและราคาที่คาดว่าจะได้รับ

โมเดล Black-Scholes ทำหน้าที่ได้อย่างมีประสิทธิภาพ (แน่นอนตามสมมติฐานของตัวเอง) ดังต่อไปนี้:

C = S × N (D1) -X × E-RTN (D2)

แบบจำลอง BS ถือว่าการกระจายของการเคลื่อนไหวของราคาหุ้นแบบล็อกปกติซึ่งแสดงให้เห็นถึงการใช้งาน N (d1) และ N (d2)

• ในส่วนแรก S หมายถึงราคาปัจจุบันของสต็อค N (d1) หมายถึงความน่าจะเป็นของการเคลื่อนไหวของราคาหุ้นในปัจจุบัน

หากตัวเลือกนี้ใช้เงินเป็นจำนวนมากอนุญาตให้ผู้ซื้อใช้สิทธิ์ตัวเลือกนี้เขาจะได้รับหุ้น IBM พื้นฐานหนึ่งหุ้น หากเทรดเดอร์ทำการฝึกฝนในวันนี้ S * N (d1) จะแสดงถึงมูลค่าที่คาดหวังของตัวเลือกในปัจจุบัน

ในส่วนที่สอง X หมายถึงราคาที่ใช้สิทธิ

• N (d2) แสดงถึงความน่าจะเป็นของราคาหุ้นที่สูงกว่าราคาที่ใช้สิทธิดังนั้น X * N (d2) หมายถึงมูลค่าที่คาดหวังของราคาหุ้นที่เหลืออยู่ สูงกว่า ราคาที่ใช้สิทธิ

เนื่องจากโมเดล Black-Scholes ถือว่าตัวเลือกสไตล์ยุโรปที่การออกกำลังกายเป็นไปได้ในตอนท้ายเท่านั้นค่าที่คาดหวังที่แสดงไว้ข้างต้นโดย X * N (d2) ควรจะได้รับส่วนลดสำหรับมูลค่าเวลาของเงิน ดังนั้นส่วนสุดท้ายได้รับการคูณกับคำที่ยกมาเป็นอัตราดอกเบี้ยในช่วงเวลา

ผลต่างสุทธิของคำสองคำนี้แสดงมูลค่าราคาของตัวเลือก ณ วันนี้ (ในกรณีที่คำที่สองถูกลดราคา)

ในกรอบการทำงานของเราการเคลื่อนไหวของราคาดังกล่าวสามารถรวมได้อย่างแม่นยำมากขึ้นผ่านหลายวิธี:

• การปรับแต่งเพิ่มเติมของการคำนวณผลตอบแทนที่คาดหวังโดยการขยายช่วงไปสู่ช่วงเวลาที่ละเอียดยิ่งขึ้นเพื่อรวมการเคลื่อนไหวของราคาระหว่างวัน / ภายในการรวมข้อมูลตลาดในปัจจุบันเนื่องจากสะท้อนถึงกิจกรรมในปัจจุบัน (คล้ายกับความผันผวนโดยนัย) จะได้รับส่วนลดกลับสู่ยุคปัจจุบันสำหรับการประเมินมูลค่าที่สมจริงและลดลงอีกจากมูลค่าปัจจุบัน

ดังนั้นเราจะเห็นว่าไม่มีข้อ จำกัด ในเรื่องของสมมติฐานวิธีการและการปรับแต่งเพื่อเลือกการวิเคราะห์เชิงปริมาณ ขึ้นอยู่กับสินทรัพย์ที่จะทำการค้าขายหรือการลงทุนที่ต้องพิจารณาโมเดลที่พัฒนาตนเองอาจทำงานได้ สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าความผันผวนของการเคลื่อนไหวของราคาของสินทรัพย์แต่ละประเภทนั้นมีความแตกต่างกันอย่างมาก - หุ้นมีความผันผวนเล็กน้อย, ฟอเร็กซ์มีความผันผวนที่ขมวดคิ้วและผู้ใช้ควรรวมรูปแบบความผันผวนที่เกี่ยวข้อง สมมติฐานและข้อเสียคือส่วนสำคัญของโมเดลและการใช้โมเดลที่มีความรู้ในสถานการณ์การซื้อขายจริงสามารถให้ผลลัพธ์ที่ดีกว่า

บรรทัดล่าง

ด้วยสินทรัพย์ที่ซับซ้อนเข้าสู่ตลาดหรือแม้กระทั่งสินทรัพย์วานิลลาธรรมดาในรูปแบบที่ซับซ้อนของการซื้อขายการสร้างแบบจำลองเชิงปริมาณและการวิเคราะห์กลายเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการประเมินค่า น่าเสียดายที่ไม่มีตัวแบบคณิตศาสตร์มาหากไม่มีข้อเสียและข้อสมมติฐาน วิธีที่ดีที่สุดคือการตั้งสมมติฐานให้น้อยที่สุดและตระหนักถึงข้อเสียเปรียบโดยนัยซึ่งสามารถช่วยในการวาดเส้นการใช้งานและการบังคับใช้ของแบบจำลอง