นิยามความสัมพันธ์เชิงเส้น

ความสัมพันธ์เชิงเส้นคืออะไร?

ความสัมพันธ์เชิงเส้น (หรือการเชื่อมโยงเชิงเส้น) เป็นคำทางสถิติที่ใช้เพื่ออธิบายความสัมพันธ์แบบเส้นตรงระหว่างตัวแปรและค่าคงที่ ความสัมพันธ์เชิงเส้นสามารถแสดงได้ทั้งในรูปแบบกราฟิกที่ตัวแปรและค่าคงที่เชื่อมต่อผ่านเส้นตรงหรือในรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่ตัวแปรอิสระถูกคูณด้วยค่าสัมประสิทธิ์ความชันเพิ่มโดยค่าคงที่ซึ่งกำหนดตัวแปรตาม

ความสัมพันธ์เชิงเส้นอาจเปรียบเทียบกับความสัมพันธ์พหุนามหรือไม่เชิงเส้น (โค้ง)

ประเด็นที่สำคัญ

ความสัมพันธ์เชิงเส้น (หรือการเชื่อมโยงเชิงเส้น) เป็นคำทางสถิติที่ใช้เพื่ออธิบายความสัมพันธ์แบบเส้นตรงระหว่างตัวแปรและค่าคงที่ความสัมพันธ์แบบเส้นตรงสามารถแสดงได้ทั้งในรูปแบบกราฟิกหรือสมการทางคณิตศาสตร์ของรูปแบบ y = mx + b. ความสัมพันธ์แบบสายสัมพันธ์เป็นเรื่องธรรมดาในชีวิตประจำวัน

สมการเชิงเส้นคือ:

ในทางคณิตศาสตร์ความสัมพันธ์เชิงเส้นคือสิ่งที่ทำให้สมการสมการ:

$\begin{matrix} Y = ม. x + ข \\ ที่อยู่: \\ ม. = ลาด \\ ข = ตัดแกน y \end{matrix} \ start {aligned} & y = mx + b \\ & \ textbf {โดย:} \ & m = \ text {slope} \ & b = \ text {y-intercept} \ \ end {align}$ การ y = mx + bwhere: m = = slopeb ตัดแกน y

ในสมการนี้“ x” และ“ y” เป็นตัวแปรสองตัวที่เกี่ยวข้องกับพารามิเตอร์“ m” และ“ b” แบบกราฟิก y = mx + b พล็อตในระนาบ xy เป็นเส้นที่มีความลาดชัน“ m” และ y-intercept“ b.” y-intercept“ b” เป็นเพียงค่าของ“ y” เมื่อ x = 0 ความชัน“ m” ถูกคำนวณจากจุดสองจุดใด ๆ (x ₁, y ₁) และ (x ₂, y ₂) เป็น:

$ม. = \frac{(Y_{2} - Y_{1})}{(x_{2} - x_{1})} m = \ frac {(y_2 - y_1)} {(x_2 - x_1)}$ m = (x2 -x1) (y2 -y1)

ความสัมพันธ์เชิงเส้น

ความสัมพันธ์เชิงเส้นอะไรบอกคุณ

มีเกณฑ์จำเป็นสามชุดที่สมการจะต้องพบเพื่อให้มีคุณสมบัติเป็นเส้นตรง: สมการที่แสดงความสัมพันธ์เชิงเส้นไม่สามารถประกอบด้วยตัวแปรมากกว่าสองตัวตัวแปรทั้งหมดในสมการต้องเป็นกำลังแรก และสมการต้องกราฟเป็นเส้นตรง

ฟังก์ชั่นเชิงเส้นในคณิตศาสตร์เป็นฟังก์ชันที่ตอบสนองคุณสมบัติของความไวและความสม่ำเสมอ ฟังก์ชันเชิงเส้นยังปฏิบัติตามหลักการซ้อนทับซึ่งระบุว่าเอาต์พุตสุทธิของอินพุตสองตัวหรือมากกว่านั้นเท่ากับผลรวมของเอาต์พุตของอินพุตแต่ละตัว ความสัมพันธ์เชิงเส้นที่ใช้กันทั่วไปคือความสัมพันธ์ซึ่งอธิบายถึงวิธีการที่ตัวแปรหนึ่งเปลี่ยนแปลงในแบบเชิงเส้นกับการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรอื่น

ในเศรษฐมิติการถดถอยเชิงเส้นเป็นวิธีที่ใช้บ่อยครั้งในการสร้างความสัมพันธ์เชิงเส้นเพื่ออธิบายปรากฏการณ์ต่าง ๆ อย่างไรก็ตามความสัมพันธ์ทั้งหมดไม่ใช่เชิงเส้น ข้อมูลบางอย่างอธิบายความสัมพันธ์ที่โค้ง (เช่นความสัมพันธ์พหุนาม) ในขณะที่ข้อมูลอื่นไม่สามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้

ฟังก์ชั่นเชิงเส้น

ทางคณิตศาสตร์คล้ายกับความสัมพันธ์เชิงเส้นคือแนวคิดของฟังก์ชันเชิงเส้น ในตัวแปรเดียวฟังก์ชันเชิงเส้นสามารถเขียนได้ดังนี้:

$\begin{matrix} ฉ (x) = ม. x + ข \\ ที่อยู่: \\ ม. = ลาด \\ ข = ตัดแกน y \end{matrix} \ start {aligned} & f (x) = mx + b \\ & \ textbf {โดย:} \ & m = \ text {slope} \ & b = \ text {y-intercept} \ \ end {align}$ f (x) = mx + bwhere: m = = slopeb ตัดแกน y

สิ่งนี้เหมือนกับสูตรที่กำหนดสำหรับความสัมพันธ์เชิงเส้นยกเว้นว่าใช้สัญลักษณ์ f (x) แทน y การทดแทนนี้ทำขึ้นเพื่อเน้นความหมายที่ x ถูกจับคู่กับ f (x) ในขณะที่การใช้ y เพียงแค่ระบุว่า x และ y เป็นสองปริมาณที่เกี่ยวข้องโดย A และ B

ในการศึกษาพีชคณิตเชิงเส้นคุณสมบัติของฟังก์ชั่นเชิงเส้นมีการศึกษาอย่างกว้างขวางและทำให้เข้มงวด ให้สเกลาร์ C และเวกเตอร์สองตัว A และ B จาก R ^N คำจำกัดความทั่วไปของฟังก์ชันเชิงเส้นระบุว่า: $ค \times ฉ (+ B) = ค \times ฉ () + ค \times ฉ (B) c \ times f (A + B) = c \ times f (A) + c \ times f (B)$ ค× f (A + B) = C × f (A) + C × f (B)

ตัวอย่างของความสัมพันธ์เชิงเส้น

ตัวอย่างที่ 1

ความสัมพันธ์เชิงเส้นเป็นเรื่องธรรมดาในชีวิตประจำวัน ลองนำแนวคิดของความเร็วเช่น สูตรที่เราใช้ในการคำนวณความเร็วมีดังนี้อัตราของความเร็วคือระยะทางที่เดินทางข้ามเวลา ถ้าใครบางคนในรถไครส์เลอร์ทาวน์คันทรีและคันทรี 2007 กำลังเดินทางระหว่างแซคราเมนโตและแมรีส์วิลล์ในแคลิฟอร์เนียระยะทาง 41.3 ไมล์บนทางหลวงหมายเลข 99 และการเดินทางทั้งหมดใช้เวลา 40 นาทีเธอจะต้องเดินทางน้อยกว่า 60 ไมล์ต่อชั่วโมง

ในขณะที่มีตัวแปรมากกว่าสองตัวในสมการนี้มันยังคงเป็นสมการเชิงเส้นเพราะตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งจะเป็นค่าคงที่ (ระยะทาง) เสมอ

ตัวอย่างที่ 2

ความสัมพันธ์เชิงเส้นสามารถพบได้ในสมการ distance = rate x time เนื่องจากระยะทางเป็นจำนวนบวก (ในกรณีส่วนใหญ่) ความสัมพันธ์เชิงเส้นนี้จะแสดงที่ด้านบนขวาของกราฟด้วยแกน X และแกน Y

หากจักรยานที่ทำขึ้นสำหรับสองคนกำลังเดินทางในอัตรา 30 ไมล์ต่อชั่วโมงเป็นเวลา 20 ชั่วโมงผู้ขับขี่จะสิ้นสุดการเดินทาง 600 ไมล์ กราฟแสดงระยะทางบนแกน Y และเวลาบนแกน X เส้นที่ติดตามระยะทางในช่วง 20 ชั่วโมงนั้นจะเดินทางตรงจากการบรรจบกันของแกน X และแกน Y

ตัวอย่างที่ 3

ในการแปลงเซลเซียสเป็นฟาเรนไฮต์หรือฟาเรนไฮต์เป็นเซลเซียสคุณจะต้องใช้สมการด้านล่าง สมการเหล่านี้แสดงความสัมพันธ์เชิงเส้นบนกราฟ:

$° ค = \frac{5}{9} (° F - 32) \ degree C = \ frac {5} {9} ( degree F - 32)$ ° C = 95 (° F-32)

$° F = \frac{9}{5} (° ค + 32) \ degree F = \ frac {9} {5} ( degree C + 32)$ ° F = 59 (° C + 32)

ตัวอย่างที่ 4

สมมติว่าตัวแปรอิสระคือขนาดของบ้าน (ตามที่วัดโดยตารางฟุต) ซึ่งกำหนดราคาตลาดของบ้าน (ตัวแปรตาม) เมื่อมันถูกคูณด้วยสัมประสิทธิ์ความชันที่ 207.65 และจะถูกเพิ่มเข้าไปในเทอมคงที่ $ 10, 500. หากวิดีโอสแควร์ของบ้านคือ 1, 250 ดังนั้นมูลค่าตลาดของบ้านคือ (1, 250 x 207.65) + $ 10, 500 = $ 270, 062.50 แบบกราฟิกและทางคณิตศาสตร์จะปรากฏดังนี้:

ในตัวอย่างนี้เมื่อขนาดของบ้านเพิ่มขึ้นมูลค่าตลาดของบ้านจะเพิ่มขึ้นตามแบบเส้นตรง

ความสัมพันธ์เชิงเส้นบางอย่างระหว่างวัตถุสองชนิดสามารถเรียกได้ว่า "ค่าคงที่ของสัดส่วน" ความสัมพันธ์นี้จะปรากฏเป็น

$\begin{matrix} Y = k \times X \\ ที่อยู่: \\ k = คงที่ \\ Y, X = ปริมาณตามสัดส่วน \end{matrix} \ start {aligned} & Y = k \ times X \\ & \ textbf {โดยที่:} \ & k = \ text {ค่าคงที่} \ & Y, X = \ text {ปริมาณตามสัดส่วน} \ \ end {align}$ Y = k × Xwhere: k = ค่าคงที่ Y, X = ปริมาณตามสัดส่วน

เมื่อวิเคราะห์ข้อมูลพฤติกรรมไม่ค่อยมีความสัมพันธ์เชิงเส้นที่สมบูรณ์แบบระหว่างตัวแปร อย่างไรก็ตามเส้นแนวโน้มสามารถพบได้ในข้อมูลที่สร้างความสัมพันธ์เชิงเส้นในแบบคร่าวๆ ตัวอย่างเช่นคุณสามารถดูการขายไอศกรีมและจำนวนการเยี่ยมชมโรงพยาบาลเป็นตัวแปรสองตัวที่เล่นในกราฟและค้นหาความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างทั้งสอง

สารบัญ: