ดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง

ดอกเบี้ยทบต้นคือดอกเบี้ยที่คำนวณจากเงินต้นเริ่มต้นและดอกเบี้ยสะสมของงวดก่อนหน้าของการฝากหรือเงินกู้ ผลของดอกเบี้ยทบต้นขึ้นอยู่กับความถี่

สมมติอัตราดอกเบี้ยรายปี 12% หากเราเริ่มต้นปีด้วย $ 100 และทบต้นเพียงครั้งเดียวในตอนท้ายของปีเงินต้นจะเพิ่มขึ้นเป็น $ 112 ($ 100 x 1.12 = $ 112) หากเราทบต้น ในแต่ละเดือน ที่ 1% เราจะได้รับมากกว่า $ 112 ในตอนท้ายของปี นั่นคือ $ 100 x 1.01 ^ 12 ที่ $ 112.68 (สูงกว่าเพราะเราทบต้นบ่อยขึ้น)

ผลตอบแทนรวมที่ผสมกันอย่างต่อเนื่องบ่อยที่สุดของสารประกอบทั้งหมด การรวมกันอย่างต่อเนื่องคือขีด จำกัด ทางคณิตศาสตร์ที่ดอกเบี้ยทบต้นสามารถเข้าถึงได้ มันเป็นกรณีที่รุนแรงในการทบต้นเนื่องจากดอกเบี้ยส่วนใหญ่จะถูกทบต้นเป็นรายเดือนรายไตรมาสหรือครึ่งปี

อัตราผลตอบแทนครึ่งปี

ก่อนอื่นมาดูการประชุมที่อาจทำให้สับสน ในตลาดตราสารหนี้เราอ้างถึงอัตราผลตอบแทนเทียบเท่าพันธบัตร (หรือพื้นฐานเทียบเท่าพันธบัตร) ซึ่งหมายความว่าหากตราสารหนี้ให้ผลตอบแทน 6% บนพื้นฐานครึ่งปีผลตอบแทนเทียบเท่าพันธบัตรของมันคือ 12%

รูปภาพโดย Julie Bang © Investopedia 2019

ผลผลิตครึ่งปีเพิ่มขึ้นสองเท่า สิ่งนี้อาจสับสนเนื่องจากอัตราผลตอบแทนที่แท้จริงของพันธบัตรที่มีผลตอบแทนเทียบเท่าพันธบัตร 12% คือ 12.36% (เช่น 1.06 ^ 2 = 1.1236) การเพิ่มอัตราผลตอบแทนครึ่งปีเป็นเพียงการประชุมตั้งชื่อพันธบัตร ดังนั้นถ้าเราอ่านเกี่ยวกับพันธะ 8% ผสมครึ่งปีเราถือว่านี่หมายถึงผลตอบแทนครึ่งปีละ 4%

อัตราผลตอบแทนรายไตรมาสรายเดือนและรายวัน

ทีนี้เรามาพูดถึงความถี่ที่สูงขึ้น เรายังคงสมมติอัตราดอกเบี้ยในตลาดประจำปี 12% ภายใต้อนุสัญญาการตั้งชื่อพันธบัตรหมายถึงอัตราดอกเบี้ยทบต้น 6% ต่อปี ตอนนี้เราสามารถแสดงอัตราดอกเบี้ยทบต้นรายไตรมาสเป็นฟังก์ชั่นของอัตราดอกเบี้ยในตลาด

รูปภาพโดย Julie Bang © Investopedia 2019

กำหนดอัตราตลาดประจำปี ( r) อัตราดอกเบี้ยทบต้นรายไตรมาส ( r _q) มอบให้โดย:

$\begin{matrix} R_{Q} = 4 \end{matrix} \ start {aligned} & r_q = 4 \ left \\ \ end {aligned}$ RQ = 4

ดังนั้นสำหรับตัวอย่างของเราที่อัตราตลาดประจำปีคือ 12% อัตราดอกเบี้ยทบต้นรายไตรมาสคือ 11.825%:

$\begin{matrix} R_{Q} = 4 ≅ 11.825 % \end{matrix} \ start {aligned} & r_q = 4 \ left \ cong 11.825 \% \\ \ end {aligned}$ RQ = 4≅11.825%

รูปภาพโดย Julie Bang © Investopedia 2019

ตรรกะที่คล้ายกันนำไปใช้กับการประนอมรายเดือน อัตราดอกเบี้ยทบต้นรายเดือน ( r _m ) มีให้ที่นี่เป็นฟังก์ชันของอัตราดอกเบี้ยประจำปีของตลาด ( r):

อัตราดอกเบี้ยทบต้นรายวัน ( d) ในฐานะฟังก์ชันของอัตราดอกเบี้ยตลาด ( r) กำหนดโดย:

$\begin{matrix} R_{d} & = 360 \\ = 360 \\ ≅ 11.66 % \end{matrix} \ start {aligned} r_d & = 360 \ left \\ & = 360 \ left \\ & \ cong 11.66 \% \\ \ end {aligned}$ RD = 360 = 360≅11.66%

การผสมอย่างต่อเนื่องทำงานอย่างไร

รูปภาพโดย Julie Bang © Investopedia 2019

หากเราเพิ่มความถี่ของสารประกอบให้ถึงขีด จำกัด เราก็จะทบต้นอย่างต่อเนื่อง ในขณะที่สิ่งนี้อาจไม่สามารถนำไปใช้ได้จริงอัตราดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่องนำเสนอคุณสมบัติที่สะดวกสบายอย่างน่าอัศจรรย์ ปรากฎว่าได้รับอัตราดอกเบี้ยทบต้นอย่างต่อเนื่องโดย:

$\begin{matrix} R_{ค โอ n เสื้อ ผม n ยู โอ ยู s} = LN (1 + R) \end{matrix} \ start {จัดชิด} & r_ {ต่อเนื่อง} = \ ln (1 + r) \ \ end {จัดชิด}$ rcontinuous = LN (1 + R)

Ln () เป็นบันทึกธรรมชาติและในตัวอย่างของเราอัตราการผสมอย่างต่อเนื่องจึงเป็น:

$\begin{matrix} R_{ค โอ n เสื้อ ผม n ยู โอ ยู s} = LN (1 + 0.12) = LN (1.12) ≅ 11.33 % \end{matrix} \ start {aligned} & r_ {ต่อเนื่อง} = \ ln (1 + 0.12) = \ ln (1.12) cong 11.33 \% \\ \ end {ชิด}$ rcontinuous = LN (1 + 0.12) = LN (1.12) ≅11.33%

เราไปที่เดียวกันโดยจดบันทึกธรรมชาติของอัตราส่วนนี้: ค่าสิ้นสุดหารด้วยค่าเริ่มต้น

$\begin{matrix} R_{ค โอ n เสื้อ ผม n ยู โอ ยู s} = LN (\frac{{ราคา}_{ปลาย}}{{ราคา}_{เริ่มต้น}}) = LN (\frac{112}{100}) ≅ 11.33 % \end{matrix} \ start {aligned} & r_ {ต่อเนื่อง} = \ ln \ left ( frac { text {Value} _ \ text {End}} { text {Value} _ \ text {Start}} right) = \ ln \ ซ้าย ( frac {112} {100} right) cong 11.33 \% \\ \ end {จัดชิด}$ rcontinuous = LN (ValueStart ValueEnd) = LN (100, 112) ≅11.33%

หลังเป็นเรื่องปกติเมื่อคำนวณผลตอบแทนแบบผสมที่ต่อเนื่องสำหรับหุ้น ตัวอย่างเช่นหากหุ้นกระโดดจาก $ 10 หนึ่งวันไปที่ $ 11 ในวันถัดไปจะได้รับผลตอบแทนรายวันแบบผสมอย่างต่อเนื่องโดย:

$\begin{matrix} R_{ค โอ n เสื้อ ผม n ยู โอ ยู s} = LN (\frac{{ราคา}_{ปลาย}}{{ราคา}_{เริ่มต้น}}) = LN (\frac{$ 11}{$ 10}) ≅ 9.53 % \end{matrix} \ start {aligned} & r_ {ต่อเนื่อง} = \ ln \ left ( frac { text {Value} _ \ text {End}} { text {Value} _ \ text {Start}} right) = \ ln \ ซ้าย ( frac { $ 11} { $ 10} right) cong 9.53 \% \\ \ end {จัดชิด}$ rcontinuous = LN (ValueStart ValueEnd) = LN ($ 10 $ 11) ≅9.53%

มีอะไรดีมากเกี่ยวกับอัตราดอกเบี้ยทบต้นอย่างต่อเนื่อง (หรือผลตอบแทน) ที่เราจะแสดงด้วย r _c ก่อนอื่นมันง่ายต่อการขยายไปข้างหน้า เมื่อได้รับเงินต้น (P) ความมั่งคั่งสุดท้ายของเรามากกว่า (n) ปีจะได้รับจาก:

$\begin{matrix} W = P {อี}^{R_{ค} n} \end{matrix} \ start {aligned} & w = Pe ^ {r_c n} \ \ end {aligned}$ W = Perc n

โปรดทราบว่า e เป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ตัวอย่างเช่นหากเราเริ่มต้นด้วย $ 100 และรวมกันอย่างต่อเนื่องที่ 8% ในช่วงสามปีที่ผ่านมาความมั่งคั่งขั้นสุดท้ายจะได้รับจาก:

$\begin{matrix} W = $ 100 {อี}^{(0.08) (3)} = $ 127.12 \end{matrix} \ start {aligned} & w = \ $ 100e ^ {(0.08) (3)} = \ $ 127.12 \\ \ end {aligned}$ W = $ 100E (0.08) (3) = $ 127.12

การลดราคาให้กับมูลค่าปัจจุบัน (PV) เป็นเพียงการ ทบต้นในสิ่งที่ตรงกันข้าม ดังนั้นมูลค่าปัจจุบันของมูลค่าในอนาคต (F) จะถูกทบอย่างต่อเนื่องในอัตราที่ ( r _c) กำหนดโดย:

$\begin{matrix} PV ของ F ได้รับใน (n) ปี = \frac{F}{{อี}^{R_{ค} n}} = F {อี}^{- R_{ค} n} \end{matrix} \ start {aligned} & \ text {PV ของ F ที่ได้รับใน (n) ปี} = \ frac {F} {e ^ {r_c n}} = Fe ^ {-r_c n} \ \ end {aligned}$ PV ของ F ที่ได้รับใน (n) ปี = erc nF = Fe − rc n

ตัวอย่างเช่นหากคุณจะได้รับ $ 100 ในสามปีภายใต้อัตราต่อเนื่อง 6% มูลค่าปัจจุบันจะได้รับจาก:

$\begin{matrix} PV = F {อี}^{- R_{ค} n} = ($ 100) {อี}^{- (0.06) (3)} = $ 100 {อี}^{- 0.18} ≅ $ 83.53 \end{matrix} \ start {aligned} & \ text {PV} = Fe ^ {-r_c n} = ( $ 100) e ^ {- (0.06) (3)} = \ $ 100 e ^ {-0.18} cong \ $ 83.53 \\ \ end {} ชิด$ PV = เฟ-RC n = ($ 100) e-(0.06) (3) = $ 100E-0.18≅ $ 83.53

ปรับสเกลมากกว่าหลายช่วงเวลา

คุณสมบัติที่สะดวกสบายของผลตอบแทนรวมที่ต่อเนื่องคือมีการปรับขยายในหลายช่วงเวลา หากผลตอบแทนสำหรับช่วงแรกคือ 4% และผลตอบแทนสำหรับช่วงเวลาที่สองคือ 3% ดังนั้นผลตอบแทนสองช่วงเวลาคือ 7% พิจารณาว่าเราเริ่มต้นปีด้วย $ 100 ซึ่งเพิ่มขึ้นเป็น $ 120 ในตอนท้ายของปีแรกจากนั้น $ 150 ในตอนท้ายของปีที่สอง ผลตอบแทนรวมที่ต่อเนื่องคือ 18.23% และ 22.31% ตามลำดับ

$\begin{matrix} LN (\frac{120}{100}) ≅ 18.23 % \end{matrix} \ start {aligned} & \ ln \ left ( frac {120} {100} right) cong 18.23 \% \\ \ end {align}$ LN (100, 120) ≅18.23%

$\begin{matrix} LN (\frac{150}{120}) ≅ 22.31 % \end{matrix} \ start {aligned} & \ ln \ left ( frac {150} {120} right) cong 22.31 \% \\ \ end {align}$ LN (120, 150) ≅22.31%

หากเรารวมมันเข้าด้วยกันเราจะได้ 40.55% นี่คือผลตอบแทนสองงวด:

$\begin{matrix} LN (\frac{150}{100}) ≅ 40.55 % \end{matrix} \ start {aligned} & \ ln \ left ( frac {150} {100} right) cong 40.55 \% \\ \ end {align}$ LN (100, 150) ≅40.55%

เทคนิคการพูดผลตอบแทนอย่างต่อเนื่องเป็นเวลาที่สอดคล้องกัน ความสอดคล้องของเวลาเป็นข้อกำหนดทางเทคนิคสำหรับค่าความเสี่ยง (VAR) ซึ่งหมายความว่าหากผลตอบแทนระยะเวลาเดียวคือตัวแปรสุ่มแบบกระจายปกติเราต้องการตัวแปรสุ่มหลายช่วงเวลาที่จะกระจายตามปกติด้วย นอกจากนี้ผลตอบแทนรวมแบบหลายช่วงเวลาแบบต่อเนื่องจะถูกกระจายตามปกติ (ซึ่งแตกต่างจากการพูดเปอร์เซ็นต์ผลตอบแทนอย่างง่าย)

บรรทัดล่าง

เราสามารถปรับอัตราดอกเบี้ยรายปีเป็นอัตราดอกเบี้ยรายปีรายไตรมาสรายไตรมาสหรือรายวัน (หรืออัตราผลตอบแทน) การทบต้นที่บ่อยที่สุดคือการทบอย่างต่อเนื่องซึ่งต้องการให้เราใช้บันทึกธรรมชาติและฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งใช้กันทั่วไปในด้านการเงินเนื่องจากคุณสมบัติที่ต้องการ - มันชั่งได้ง่ายในช่วงเวลาต่าง ๆ และเป็นเวลาที่สอดคล้องกัน

สารบัญ:

อัตราผลตอบแทนครึ่งปี

อัตราผลตอบแทนรายไตรมาสรายเดือนและรายวัน

การผสมอย่างต่อเนื่องทำงานอย่างไร

ปรับสเกลมากกว่าหลายช่วงเวลา

บรรทัดล่าง

ตัวเลือกของบรรณาธิการ